A combinação linear de duas soluções de um sistema linear homogêneo também é uma solução desse sistema linear?

Question

Seja um sistema linear homogêneo \(Ax=0\) e sejam \(x_1\) e \(x_2\) soluções desse sistema. O que ocorre com \(\alpha x_1 + \beta x_2\)?

Answer 1

Sim!

Note que se \(x_1\) e \(x_2\) são soluções, então \(Ax_1=0\) e \(Ax_2=0\). Portanto,
\(A(\alpha x_1 +\beta x_2)=\alpha A x_1 +\beta x_2 = 0 + 0 =0.\)