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O conjunto de vetores é uma base para o espaço vetorial?

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perguntada Set 28, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,726 pontos)  

Suponha que \(\{v_1,\cdots,v_n\}\) é uma base para o espaço vetorial \(V\) que possui
dimensão finita maior ou igual a 3. Então, \(\{v_1+v_2,v_2+v_3,\cdots,v_{n-1}+v_n,v_n+v_1\}\) é também uma base para \(V\)?

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1 Resposta

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respondida Set 28, 2016 por danielcajueiro (5,726 pontos)  

Sabendo que \(\{v_1,\cdots,v_n\}\) é uma base para \(V\) então \(V\) tem dimensão \(n\) e precisamos apenas checar se os \(n\) vetores \(\{v_1+v_2,v_2+v_3,\cdots,v_{n-1}+v_n,v_n+v_1\}\) são linearmente independentes.

Precisamos checar se a equação vetorial

\[ c_1(v_1+v_2) + c_2(v_2+v_3)+\cdots c_{n-1} (v_{n-1}+v_n) + c_n(v_n+v_1)=0\] possui apenas solução nula.

Note que essa equação é equivalente a

\[(c_1+c_n) v_1 + (c_1+c_2)v_2 +\cdots + (c_{n-1}+ c_n)v_n=0\]

Precisamos resolver o sistema linear homogêneo

\[c_1+c_n=0\]

\[c_1+c_2=0\]

\[c_2 + c_3=0\]

\[\vdots\]

\[c_{n-1}+c_n=0\]

É fácil notar que esse sistema tem infinitas soluções se \(n\) é par., pois a última linha da matriz associada ao sistema acima pode ser escrita como combinção linear das linhas anteriores da seguinte forma:

\[L_n=L_1 -L_2 + L_3 -L_4 + \cdots -L_{n-2} + L_{n-1}\]

comentou Set 28, 2016 por Gabriel Mamede (1 ponto)  
{v1+v2,v2+v3,⋯,vn−1+vn,vn+v1} então não é base pra V?
comentou Set 28, 2016 por danielcajueiro (5,726 pontos)  
Pelas minhas contas, não. Por exemplo, cheque o caso n=4. Se vc tiver o resultado diferente, me avise.
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