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A intersecção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo?

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perguntada Set 30, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,741 pontos)  
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respondida Set 30, 2016 por danielcajueiro (5,741 pontos)  

Seja \(m_{xy}\) o seguimento de reta que pode ser construído ligando dois pontos \(x\) e \(y\).

Se \(A\) é convexo, então \(\forall x,y\in A \Rightarrow m_{xy}\in A\).

Se \(B\) é convexo, então \(\forall x,y\in B \Rightarrow m_{xy}\in B\).

Suponha que \(x,y\in A\cap B\). Logo, \(x,y\in A\) e \(x,y\in B\). Uma vez que \(A\) e \(B\) são convexos, \(m_{xy}\in A\) e \(m_{xy}\in B\) e, portanto, também está na intersecção.

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