Question

A função \(f: \Re^2\rightarrow \Re_+\) \(f(x,y)=|x|+|y|\) é convexa.

Answer 1

Precisamos provar que \(\forall t\in [0,1]\) e \(\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}^2\) temos \(f(t(x_1,y_1) + (1-t) (x_2,y_2))\le t f(x_1,y_1) + (1-t) f(x_2,y_2)\).

Então,

\(f(t(x_1,y_1) + (1-t) (x_2,y_2))=|t x_1 + (1-t) x_2| + |t y_1 + (1-t) y_2|\)
\(\le |t x_1| + |(1-t) x_2| + |t y_1| + |(1-t) y_2|=\)
\(= t| x_1| + (1-t) |x_2| + t| y_1| + (1-t)| y_2|=\)
\(= t(| x_1|+| y_1|) + (1-t) (|x_2| + | y_2|)=\)
\(= t f(x_1,y_1) + (1-t) f(x_2,y_2)\)

Comments

Professor, na segunda linha da demonstração realmente é um sinal de ≤  ? Nessa linha o senhor abriu a segunda parte da equação tf(x1,y1)+(1−t)f(x2,y2) ou está desenvolvendo a primeira f(t(x1,y1)+(1−t)(x2,y2)) para chegar na segunda?

---

Simplesmente apliquei que |x+y| <= |x|+|y|.