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A função \(f(x,y)=(x+1)^4 + xy + (y+1)^4\) é convexa para todos \(x>0\) e \(y>0\)?

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perguntada Set 30, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Set 30, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Você precisa apenas checar se a matriz de segundas derivadas é positiva definida.

1) Calcule as derivadas

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=4(x+1)^3 + y\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=4(y+1)^3 +x\)

2) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=D^2 f=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc} 12 (x+1)^2 & 1 \\ 1 & 12(y+1)^2\end{array} \right]\]

3) Calcule os determinantes das submatrizes principais:

\(H_1=12(x+1)^2\)

\(H_2=144 (x+1)^2 (y+1)^2 -1\)

Note que ambos são estritamente positivos para todos \(x\) e \(y\) positivos. Logo, a função é estritamente convexa.

comentou Nov 13, 2016 por Camila_94 (1 ponto)  
Professor, eu não consegui entender como foi montada esta matriz. Entendi que é feita a segunda derivada,  mas não consigo entender como cada elemento da matriz foi montado.
comentou Nov 14, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Dê uma olhada agora!
comentou Mai 30 por Rayane Beserra (1 ponto)  
Professor, quando você fala que a função é estritamente convexa e que a mesma é estritamente positiva isso significa que ela não pode ser zero o que implica que ela é positiva definida e consequentemente tem ponto de mínimo?
comentou Mai 30 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Note que esse problema não é um problema de otimização. Estamos apenas checando a convexidade da função.  Para ambos os casos (1) Checar se a função tem ponto de mínimo/máximo (2) Checar a convexidade/concavidade da função, usamos a matriz de segundas derivadas. A diferença é que em (1) estudamos a positividade da matriz apenas no ponto e em (2) estudamos a positividade da função em todo o domínio.
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