Question

A função \(f(x,y)=(x+1)^4 + xy + (y+1)^4\) é convexa para todos \(x>0\) e \(y>0\)?

Answer 1

Você precisa apenas checar se a matriz de segundas derivadas é positiva definida.

1) Calcule as derivadas

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=4(x+1)^3 + y\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=4(y+1)^3 +x\)

2) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=D^2 f=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc} 12 (x+1)^2 & 1 \\ 1 & 12(y+1)^2\end{array} \right]\]

3) Calcule os determinantes das submatrizes principais:

\(H_1=12(x+1)^2\)

\(H_2=144 (x+1)^2 (y+1)^2 -1\)

Note que ambos são estritamente positivos para todos \(x\) e \(y\) positivos. Logo, a função é estritamente convexa.

Comments

Professor, eu não consegui entender como foi montada esta matriz. Entendi que é feita a segunda derivada,  mas não consigo entender como cada elemento da matriz foi montado.

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Dê uma olhada agora!

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Professor, quando você fala que a função é estritamente convexa e que a mesma é estritamente positiva isso significa que ela não pode ser zero o que implica que ela é positiva definida e consequentemente tem ponto de mínimo?

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Note que esse problema não é um problema de otimização. Estamos apenas checando a convexidade da função.  Para ambos os casos (1) Checar se a função tem ponto de mínimo/máximo (2) Checar a convexidade/concavidade da função, usamos a matriz de segundas derivadas. A diferença é que em (1) estudamos a positividade da matriz apenas no ponto e em (2) estudamos a positividade da função em todo o domínio.