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Toda forma quadrática é uma função homogênea de grau 2?

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perguntada Set 30, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,726 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Set 30, 2016 por danielcajueiro (5,726 pontos)  

Seja \(Q(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i,j} a_{i,j} x_i x_j\).

Então

\(Q(t x_1,\cdots,t x_n)=\sum_{i,j} a_{i,j}(t x_i) (t x_j)=t^2 \sum_{i,j} a_{i,j} x_i x_j\) \(=t^2 Q( x_1,\cdots, x_n)\).

A resposta é positiva.

comentou Nov 15, 2016 por 2º semestre 2016 (16 pontos)  
Então a resposta é sim, certo?
comentou Nov 15, 2016 por danielcajueiro (5,726 pontos)  
Sim! É homogênea de grau 2!
comentou Jun 22, 2017 por Stéfani Silveira (1 ponto)  
Dando um exemplo: quero saber se (x².y³) é homogênea e qual o seu grau.
Multiplico os dois termos por (t), elevando-o aos respectivos expoentes de cada termo e se, ao isolar (t) novamente, a função voltar ao seu estado original, aceito ela como homogênea. E para saber o grau da função, observo com que grau ficou o (t) no final do processo.

Ex 1:   (x².y³)
            (t.x)².(t.y)³ =
         = (t² x²).(t³. y³) =
         (multiplicando  (t² .t³)):
         =t^5.( x².y³)

(Nesse caso é função homogênea, pois ao final do processo consigo isolar (t) por completo e a função volta ao seu estado original (x².y³). E ao observar o grau de (t), afirmo que é uma função homogênea de grau 5).

Ex 2:   (x²+ y³)
             (tx)² + (t.y)³ =
          = (t² x²) + (t³. Y³) =
        (colocando (t²) em evidência):
          =(t²).(x² + t.y³)

(Percebemos nesse exemplo que não se trata de uma função homogênea, pois não tem como isolar (t) por completo e a função ao final do processo é diferente da original (x²+ y³)).
comentou Jun 24, 2017 por danielcajueiro (5,726 pontos)  
Sim! Seu comentario esta correto!
comentou Nov 16, 2017 por M. Clara T. de Assis (1 ponto)  
Professor, não seria forma quadrática um polinômio homogênio de grau 2? No caso um polinômio e uma função polinomial não seriam diferentes?
comentou Nov 17, 2017 por danielcajueiro (5,726 pontos)  
Sim. Uma forma quadrática é homogênea de grau 2. Um polinomio nao necessariamente.
comentou Nov 11, 2018 por Giovanni Cavalcanti (1 ponto)  
Olá professor, tive uma dúvida em relação ao último membro da 2ª igualdade na resolução.
A presença do "t" dentro da forma quadrática Q se encontra correta?
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