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Ache todos os pontos extremos de $f(x,y,z)=\log x + 2\log y + 3 \log z$ sujeito a $x+y+z=60$. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mínimo utilizando o Hessiano orlado.

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perguntada Out 1, 2016 em Matemática por danielcajueiro (6,046 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Out 1, 2016 por danielcajueiro (6,046 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y,z)=\log x + 2\log y + 3\log z - \lambda (x+y+z-60)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=1/x -\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2/y -\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2/z -\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(x+y+z-60)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Note que a solução pode ser facilmente encontrada escrevendo \(x\), \(y\) e \(z\) como função de \(\lambda\) e substituir na equação da restrição para encontrar:

\((\lambda,x,y,z)=(1/10,10,20,30)\)

4) Use o hessiano orlado para testar se os ponto crítico do ítem anterior é ponto de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{cccc} 0 & -1 & -1 & -1\\ -1 & -1/x^2 & 0& 0 \\ -1 & 0 & -2/y^2 & 0\\ -1 & 0 & 0 & -3/z^2 \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=3-1=2\), precisamos calcular os últimos determinantes principais \(H_3=\frac{1}{x^2}+ \frac{2}{y^2}\gt 0\) e \(H_4=-\frac{6}{y^2 z^2} - \frac{2}{x^2 y^2}-\frac{3}{x^2 z^2}\lt 0\) implicando que temos um ponto de máximo.

comentou Nov 18, 2016 por 2º semestre 2016 (16 pontos)  
Em vez de -1, não deveria ser 1?
comentou Nov 18, 2016 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Onde? Faltava um -1 na equação!
comentou Nov 18, 2016 por Davi Leal (1 ponto)  
∂L/∂λ=−(x+y+z−60)=0 Nao saquei o pq da restrição ficar negativa.
comentou Nov 19, 2016 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Note que tanto faz vc usar a restrição x+y+z-60=0 ou -x-y-z+60=0. Ambas são nulas. Isso só muda o sinal do \(\lambda\).
comentou Nov 19, 2016 por Davi Leal (1 ponto)  
O Det de H4 nao é < 0 não?
comentou Nov 19, 2016 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Corrigido (:-)!
comentou Jun 22, 2017 por 2º semestre 2016 (16 pontos)  
Quando estou interessada em dois determinantes, não uso a regra de (-1)ˆm e (-1)ˆn?
comentou Jun 24, 2017 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Vc usa a regra para o ultimo determinante. A partir daí vc checa se eles possuem o mesmo sinal ou alternam de sinal.
comentou Nov 26, 2017 por maria luiza (1 ponto)  
então tanto faz usar a matriz com -1 ou 1?
comentou Nov 26, 2017 por maria luiza (1 ponto)  
professor, outra coisa: quando você diz que está interessado nos dois últimos determinantes principais, eu pensei que fosse h0 e h3. Faz diferença?
comentou Nov 26, 2017 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Não faz diferença, mas (normalmente) usamos \(H_4=H_o\) (o de Orlado e não 0=zero).
comentou Dez 4, 2018 por Thales Godoy (1 ponto)  
Professor, o valor de λ não seria 1/12?
comentou Jul 3, 2019 por Rebeca Gontijo (1 ponto)  
Professor, no determinante de H4, o primeiro termo 6/(y^2*z^2) na realidade é positivo, não? Apesar disso, nos pontos críticos H4<0, o que mantém a conclusão, mas seria necessário calcular.
comentou Jul 3, 2019 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Oi Rebeca, sua conta deu diferente? Acho que a resposta esta correta. Note que existe uma simetria nas variaveis. Seria estranho um termo dar negativo e os outros positivos.
comentou Jul 3, 2019 por Saitama (1 ponto)  
Cajueiro, calculando o det de H4 a partir da coluna 2 teremos o primeiro termo assim:
 -1*(-1)^1+2  * 6/(y^2*z^2), então ele acaba ficando positivo
comentou Jul 3, 2019 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Nao! Usando a coluna 2: \((-1)^{1+2} \times a_{12} \times (a_{21} a_{33} a_{44})\)
comentou Jul 3, 2019 por Saitama (1 ponto)  
Não considerei aquele -1. Perdão
comentou Jul 3, 2019 por danielcajueiro (6,046 pontos)  
Vc esta esquecendo de multiplicar pelo termo a_21. Voce so elimina a primeira linha e a segunda coluna. Sobra uma matriz 3 x 3.
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