Propriedades de matrizes de permutação

Question

Uma matriz de permutação é uma matriz obtida a partir da permutação de linhas
ou colunas da matriz identidade.

Considere que a matriz \(A\) seja uma matriz de permutação de ordem \(n\). Então,

a) O produto de matrizes de permutação é uma matriz de permutação.

b) O determinante de \(A\) pode ser positivo ou negativo.

c) Para todo \(v\in \Re^n\), então \(||v||=||Av||\).

d) Sejam \(S=\{ v\in \Re^n | \sum_{i=1}^{n} v_i=1\}\) e \(T:\Re^n\rightarrow
\Re^n\) dada por \(T(v)=Av\) deixa o conjunto \(S\) invariante, isto é,
\(T(S)\subseteq S\).

e) A matriz de permutação \(A\) é uma matriz ortogonal, isto é, \(A
A^\prime=I\)

Answer 1

Veja as justificativas abaixo:

a) Note que o produto por uma matriz de permutação faz apenas uma permutação nas linhas da outra matriz de permutação.

b) Como são apenas permutações das linhas de uma matriz identidade, o determinante pode ser +1 ou -1.

c) Esse produto só permuta as coordenadas do vetor. Logo, as normas serão iguais.

d) Essa transformação linear só permuta as coordenadas do vetores. Logo, os mesmos vetores pertencem ao conjunto.

e) É uma conta simples. Cheque!

Comments

Essa questão era de Certo e Errado?

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Sim! Era uma questão certo e errado.