a) Para calcular o núcleo de \(T\) precisamos encontrar o conjunto das matrizes que satisfazem
\[\frac{1}{2}(A+A^\prime)=0\]
Ou seja, qualquer matriz anti-simétrica satisfaz o núcleo. Essas matrizes tem diagonal nula e os elementos fora da diagonal são simétricos, isto é, \(a_{ij}=-a_{ji}\). Logo, é fácil checar que a dimensão do núcleo é \((n^2-n)/2\).
b) A imagem de \(T\) é uma matriz simétrica. Logo, é fácil checar que a dimensão da imagem é \((n^2 + n)/2\).