Operador linear definido pela média aritmética de uma matriz e sua transposta.

Question

Seja \(T\) um operador linear definido no espaço de matrizes de ordem \(n\)
dado por \(T(A)=\frac{1}{2}(A+A^\prime)\).

a) Qual a dimensão do núcleo de \(T\)?

b) Qual a dimensão da imagem de \(T\)?

Answer 1

a) Para calcular o núcleo de \(T\) precisamos encontrar o conjunto das matrizes que satisfazem

\[\frac{1}{2}(A+A^\prime)=0\]

Ou seja, qualquer matriz anti-simétrica satisfaz o núcleo. Essas matrizes tem diagonal nula e os elementos fora da diagonal são simétricos, isto é, \(a_{ij}=-a_{ji}\). Logo, é fácil checar que a dimensão do núcleo é \((n^2-n)/2\).

b) A imagem de \(T\) é uma matriz simétrica. Logo, é fácil checar que a dimensão da imagem é \((n^2 + n)/2\).

Comments

Professor,  não entendi n^2 e nem n.
 O senhor poderia me explicar de outra maneira como vc achou esses resultados?

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É um problema simples de contagem. Para o caso do núcleo, por exemplo, note que o número de elementos da matriz é \(n^2\), o número de elementos da diagonal é \(n\). Logo, o grau de liberdade para o núcleo é \((n^2 - n)/2\) pois a matriz é anti-simétrica, pois é o número de elementos da matriz menos o número de elementos da diagonal (pois são nulos) dividido por 2 (pois \(a_{ij}=-a_{ji})\).