Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=x^4+y^4+\lambda (x+y-1)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=4x^3+\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=4y^3+\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(x+y-1)=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Das equações acima, temos que
\[4 x^3=-\lambda\]
\[4y^3=-\lambda\]
Logo, temos que \(x=y\) e portanto \(x=y=1/2\). Adicionalmente, \(\lambda=-1/2\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 12x^2 & 0 \\ 1 & 0 & 12y^2\end{array} \right]\]
6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):
\(|H_o|=-12 (x^2 +y^2)\)
Logo, temos um ponto de mínimo.