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Ache todos os pontos extremos de \(f(x,y)=x^4 + y^4\) sujeito a \(x+y=1\). Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mínimo utilizando o Hessiano orlado.

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perguntada Out 1, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,251 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Out 1, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=x^4+y^4+\lambda (x+y-1)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=4x^3+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=4y^3+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(x+y-1)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Das equações acima, temos que

\[4 x^3=-\lambda\]

\[4y^3=-\lambda\]

Logo, temos que \(x=y\) e portanto \(x=y=1/2\). Adicionalmente, \(\lambda=-1/2\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 12x^2 & 0 \\ 1 & 0 & 12y^2\end{array} \right]\]

6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):

\(|H_o|=-12 (x^2 +y^2)\)

Logo, temos um ponto de mínimo.

comentou Jul 3, 2017 por MARCOS CALDAS (1 ponto)  
Professor, o fato de ser um número negativo não seria ponto de máximo ?
comentou Jul 6, 2017 por danielcajueiro (5,251 pontos)  
Não! Note no link dentro dessa questão a regra específica.
comentou Out 27, 2017 por Rebeca Yamada (1 ponto)  
Profº no passo 6) o determinante está errado, o correto seria
|Ho| = 0 - 12x² - 12y² = -12 (x² + y²)
comentou Out 30, 2017 por danielcajueiro (5,251 pontos)  
Corrigido! obrigado!
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