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Sequencias reais

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perguntada Out 1, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,726 pontos)  

Seqüências em \(\Re\). Mostre que:

a) Se \(\lim x_n=a\) então toda subseqüência de \(x_n\) converge para
o elemento \(a\).

b) Toda seqüência convergente é limitada.

c) Se \(\lim x_n=\lim y_n = a\) e \(x_n\le z_n \le y_n\) para todo \(n\)
suficientemente grande então \(\lim z_n=a\).

d) \(\lim x_n=0\) se e somente se \(\lim |x_n|=0\).

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1 Resposta

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respondida Out 1, 2016 por danielcajueiro (5,726 pontos)  

a) Seja \((x_{n_{1}},\cdots,x_{n_{k}},\cdots)\) a subsequência. Dado qualquer intervalo aberto \(I\) de centro \(a\), exite \(n_0\in\aleph\) tal que todos os termos \(x_n\), com \(n>n_0\), pertencem a \(I\). Em particular, todos os termos \(x_{n_{k}}\), com \(n_k\gt n_0\) também pertencem a \(I\). Logo \(\lim x_n=a\).

b) Seja \(a=\lim x_n\). Tomando \(\epsilon=1\), vemos que existe \(n_0\in\aleph\) tal que \(n>n_0\Rightarrow x_n\in(a-1,a+1)\). Sejam \(b\) o menor e \(c\) o maior elemento do conjunto finito \(\{x_1,\cdots,x_{n_{0}},a-1,a+1\}\). Todos os termos \(x_n\) da sequência estão contidos no intervalo \([b,c]\), logo ela é limitada.

c) Dado arbitrariamente \(\epsilon>0\), existem \(n_1,n_2\in\aleph\) tais que \(n\gt n_1\Rightarrow a-\epsilon\lt x_n\lt a+\epsilon\) e \(n\gt n_2\Rightarrow a-\epsilon\lt y_n\lt a+\epsilon\). Seja \(n_0=max\{n_1,n_2\}\). Então \(n\gt n_0\Rightarrow a-\epsilon\lt x_n\le z_n\le y_n\lt a+\epsilon\Rightarrow z_n\in(a-\epsilon,a+\epsilon)\), logo \(\lim z_n=a\).

d) Da definição de limite, temos \(\lim x_n=a\Leftrightarrow\lim(x_n-a)=0\Leftrightarrow\lim|x_n-a|=0\). No caso particular \(a=0\), temos \(\lim x_n=0\Leftrightarrow\lim|x_n|=0\).

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