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Polinômios de taylor

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perguntada Out 1, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Use a série de Taylor para aproximar as seguintes funções por
polinômios quadráticos ao redor dos pontos indicados:

a) \(f(x,y)=\ln(1+x^2+y^2)\) ao redor de \((0,0)\);

b) \(f(x,y)=e^x \sqrt{1+y^2}\) ao redor de \((0,0)\);

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1 Resposta

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respondida Out 1, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

a) \(f(x,y)=\ln(1+x^2+y^2)\) ao redor de \((0,0)\);

\(f(x,y)=\ln(1+x^2+y^2)\), \(f(0,0)=0\)

\(f_x(x,y)=\frac{2x}{1+x^2+y^2}\), \(f_x(0,0)=0\)

\(f_y(x,y)=\frac{2y}{1+x^2+y^2}\), \(f_y(0,0)=0\)

\(f_{xx}(x,y)=\frac{2(1-x^2+y^2)}{(1+x^2+y^2)^2}\), \(f_{xx}(0,0)=2\)

\(f_{yy}(x,y)=\frac{2(1+x^2-y^2)}{(1+x^2+y^2)^2}\), \(f_{yy}(0,0)=2\)

\(f_{xy}(x,y)=\frac{-4xy}{(1+x^2+y^2)^2}\), \(f_{xy}(0,0)=0\)

\(f(x,y)\approx f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+\) \(\frac{1}{2}\left[f_{xx}(0,0)x^2+f_{yy}(0,0)y^2+2f_{xy}(0,0)xy\right]\)

\(\Rightarrow f(x,y)\approx x^2+y^2\)

b) \(f(x,y)=e^x \sqrt{1+y^2}\) ao redor de \((0,0)\);

\(f(x,y)=e^x \sqrt{1+y^2}\), \(f(0,0)=1\)

\(f_x(x,y)=e^x \sqrt{1+y^2}\), \(f_x(0,0)=1\)

\(f_y(x,y)=\frac{e^{x}y}{\sqrt{1+y^2}}\), \(f_y(0,0)=0\)

\(f_{xx}(x,y)=e^x \sqrt{1+y^2}\), \(f_{xx}(0,0)=1\)

\(f_{yy}(x,y)=\frac{e^x}{\sqrt{1+y^2}}\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right), f_{yy}(0,0)=1\)

\(f_{xy}(x,y)=\frac{e^{x}y}{\sqrt{1+y^2}}\), \(f_{xy}(0,0)=0\)

\(f(x,y)\approx f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+\) \(\frac{1}{2}\left[f_{xx}(0,0)x^2+f_{yy}(0,0)y^2+2f_{xy}(0,0)xy\right]\)

\(\Rightarrow f(x,y)\approx 1+x+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\)

comentou Nov 10, 2017 por maria luiza (1 ponto)  
professor, na derivada segunda de y estou achando o denominador do y^2 sem raíz. O senhor pode conferir a conta?
comentou Nov 11, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Obrigado! Veja se agora está ok!
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