Teorema da função implícita

Question

Para cada uma das funções abaixo, verifique se é possível
aplicar o teorema da função implícita no ponto dado.

a) Encontre \(dy/dx\) se \(x^3 y^3-x-y=-1\) no ponto \((x,y)=(1,1)\);

b)Encontre \(dz/dx\) e \(dz/dy\) se \(2 sin z -xz + y^3=1\) no ponto
\((x,y,z)=(1,1,0)\);

Answer 1

a) Seja \(F(x,y)=x^3y^3-x-y+1\). É possível aplicar o teorema da função implícita no ponto \((x,y)=(1,1)\), pois \(F(1,1)=0\in\Re\) e \(\frac{\partial F}{\partial y}(1,1)=2\not=0\). Assim,

\(\frac{dy}{dx}(x,y)=-\frac{{\partial F}/{\partial x}}{{\partial F}/{\partial y}}\Rightarrow\frac{dy}{dx}(x,y)=-\frac{3x^2y^3-1}{3x^3y^2-1}\), \(\frac{dy}{dx}(1,1)=-1\)

b)Seja \(F(x,y,z)=2sin z-xz+y^3-1\). É possível aplicar o teorema da função implícita no ponto \((x,y)=(1,1,0)\), pois \(F(1,1,0)=0\in\Re\) e \(\frac{\partial F}{\partial z}(1,1,0)=1\not=0\). Assim,

\(\frac{dz}{dx}(x,y,z)=-\frac{{\partial F}/{\partial x}}{{\partial F}/{\partial z}}\Rightarrow\frac{dz}{dx}(x,y,z)=\frac{z}{2cos z-x}\), \(\frac{dz}{dx}(1,1,0)=0\)

e

\(\frac{dz}{dy}(x,y,z)=-\frac{{\partial F}/{\partial y}}{{\partial F}/{\partial z}}\Rightarrow\frac{dz}{dy}(x,y,z)=-\frac{3y^2}{2cos z-x}\), \(\frac{dz}{dy}(1,1,0)=-3\)