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Aplicação do teorema da função implícita

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perguntada Out 2, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,806 pontos)  

Seja \(D=f(R,P)\) a função de demanda por um determinado bem agrícola quando o preço é \(P\) e \(R\) é o gasto em publicidade. Seja \(S=g(w,P)\) a função de oferta, onde \(w\) é um índice que mede a condição de tempo (quanto melhor a condição de tempo para a agricultura, mas alto o índice). Suponha que \(g_w'(w,P)\gt 0\). O equilíbrio de mercado ocorre quando \(D=S\). Suponha que essa equação defina \(P\) implicitamente como função diferenciável de \(R\) e \(w\). Encontre \(P_w'\) e determine o seu sinal.

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1 Resposta

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respondida Out 2, 2016 por danielcajueiro (5,806 pontos)  

Seja \(F(R,w,P)=f(R,P)-g(w,P)\).

É possível aplicar o teorema da função implícita em qualquer ponto \((R,w,P)\in\Re^3\), pois \(F(R,w,P)=0\in\Re\) e se \(\frac{\partial F}{\partial P}(R,w,P)\not=0, \forall (R,w,P)\in\Re^3\).

Assim,

\( \frac{dP}{dw} = -\frac{{\partial F}/{\partial w}}{{\partial F}/{\partial P}} = -\frac{{-\partial g}/{\partial w}}{{\partial f}/{\partial P} - {\partial g}/{\partial P}}=\frac{{\partial g}/{\partial w}}{{\partial f}/{\partial P} - {\partial g}/{\partial P}} \)

Como \(\frac{\partial g}{\partial w}\gt 0\) (Enunciado), \(\frac{\partial f}{\partial P}\lt 0\) (Demanda cai com o preço) e \(\frac{\partial g}{\partial P}\gt 0\) (Oferta aumenta com o preço), temos \(\frac{dP}{dw}\lt 0\).

comentou Nov 12, 2017 por maria luiza (1 ponto)  
professor, não entendi como o senhor determinou o sinal.
comentou Nov 13, 2017 por danielcajueiro (5,806 pontos)  
Que sinal especificamente?
comentou Nov 14, 2017 por João Vitor Borges (1 ponto)  
Isto aqui:
Como ∂g/∂w>0, ∂f/∂P<0 e ∂g/∂P>0, temos dP/dw<0
comentou Nov 17, 2017 por danielcajueiro (5,806 pontos)  
∂g/∂w>0 (Enunciado)

∂f/∂P<0 (Demanda cai com o preço)

∂g/∂P>0 (Oferta aumenta com o preço)

dP/dw<0 (usando a última equação)
comentou Nov 10 por João Wigeneski (1 ponto)  
Professor, sendo que ∂g/∂w>0 é positivo, mas está sendo multiplicado por -1, o sinal do numerador ficará negativo, e a respeito do denominador, seu sinal também é negativo, uma vez que ∂f/∂P<0 e ∂g/∂P>0, mas também está sendo multiplicado por -1. Dessa forma, o sinal de dP/dw não seria positivo?
comentou Nov 10 por danielcajueiro (5,806 pontos)  
Veja agora as mudanças.
comentou Nov 11 por João Wigeneski (1 ponto)  
Entendi meu erro agora, pura desatenção... Muito obrigado, professor.
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