Aplicação do teorema da função implícita

Question

Seja \(D=f(R,P)\) a função de demanda por um determinado bem agrícola quando o preço é \(P\) e \(R\) é o gasto em publicidade. Seja \(S=g(w,P)\) a função de oferta, onde \(w\) é um índice que mede a condição de tempo (quanto melhor a condição de tempo para a agricultura, mas alto o índice). Suponha que \(g_w'(w,P)\gt 0\). O equilíbrio de mercado ocorre quando \(D=S\). Suponha que essa equação defina \(P\) implicitamente como função diferenciável de \(R\) e \(w\). Encontre \(P_w'\) e determine o seu sinal.

Answer 1

Seja \(F(R,w,P)=f(R,P)-g(w,P)\).

É possível aplicar o teorema da função implícita em qualquer ponto \((R,w,P)\in\Re^3\), pois \(F(R,w,P)=0\in\Re\) e se \(\frac{\partial F}{\partial P}(R,w,P)\not=0, \forall (R,w,P)\in\Re^3\).

Assim,

\( \frac{dP}{dw} = -\frac{{\partial F}/{\partial w}}{{\partial F}/{\partial P}} = -\frac{{-\partial g}/{\partial w}}{{\partial f}/{\partial P} - {\partial g}/{\partial P}}=\frac{{\partial g}/{\partial w}}{{\partial f}/{\partial P} - {\partial g}/{\partial P}} \)

Como \(\frac{\partial g}{\partial w}\gt 0\) (Enunciado), \(\frac{\partial f}{\partial P}\lt 0\) (Demanda cai com o preço) e \(\frac{\partial g}{\partial P}\gt 0\) (Oferta aumenta com o preço), temos \(\frac{dP}{dw}\lt 0\).

Comments

professor, não entendi como o senhor determinou o sinal.

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Que sinal especificamente?

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Isto aqui:
Como ∂g/∂w>0, ∂f/∂P<0 e ∂g/∂P>0, temos dP/dw<0

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∂g/∂w>0 (Enunciado)

∂f/∂P<0 (Demanda cai com o preço)

∂g/∂P>0 (Oferta aumenta com o preço)

dP/dw<0 (usando a última equação)

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Professor, sendo que ∂g/∂w>0 é positivo, mas está sendo multiplicado por -1, o sinal do numerador ficará negativo, e a respeito do denominador, seu sinal também é negativo, uma vez que ∂f/∂P<0 e ∂g/∂P>0, mas também está sendo multiplicado por -1. Dessa forma, o sinal de dP/dw não seria positivo?

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Veja agora as mudanças.

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Entendi meu erro agora, pura desatenção... Muito obrigado, professor.