Seja \(F(R,w,P)=f(R,P)-g(w,P)\).
É possível aplicar o teorema da função implícita em qualquer ponto \((R,w,P)\in\Re^3\), pois \(F(R,w,P)=0\in\Re\) e se \(\frac{\partial F}{\partial P}(R,w,P)\not=0, \forall (R,w,P)\in\Re^3\).
Assim,
\( \frac{dP}{dw} = -\frac{{\partial F}/{\partial w}}{{\partial F}/{\partial P}} = -\frac{{-\partial g}/{\partial w}}{{\partial f}/{\partial P} - {\partial g}/{\partial P}}=\frac{{\partial g}/{\partial w}}{{\partial f}/{\partial P} - {\partial g}/{\partial P}} \)
Como \(\frac{\partial g}{\partial w}\gt 0\) (Enunciado), \(\frac{\partial f}{\partial P}\lt 0\) (Demanda cai com o preço) e \(\frac{\partial g}{\partial P}\gt 0\) (Oferta aumenta com o preço), temos \(\frac{dP}{dw}\lt 0\).