Função homogênea de grau 0

Question

Seja \(u: \Re^n \rightarrow \Re\) uma função de utilidade com derivadas parciais contínuas. Suponha que, para uma dada constante $a$, essa função satisfaça a propriedade

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial u}{\partial x_i}=a,\]

\(\forall x_i>0\). Mostre que a função \(\nu(x_1,\cdots,x_n)=u(x_1,\cdots,x_n)-a \ln(x_1 +\cdots +x_n)\) é homogênea de grau 0.

Answer 1

Note que

\(\frac{\partial v}{\partial x_1} x_1 + \cdots + \frac{\partial v}{\partial x_n} x_n = \left( \frac{\partial u}{\partial x_1} -\frac{a}{x_1+\cdots+x_n} \right) x_1 + \cdots + \left( \frac{\partial u}{\partial x_n} -\frac{a}{x_1+\cdots+x_n} \right) x_n\)

Logo,

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial v}{\partial x_i} = \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial u}{\partial x_i} -a \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_i} = a - a = 0 \]

Logo, usando o teorema de Euler,

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial v}{\partial x_i}=n \nu(x_1,\cdots,x_n),\]

encontramos que \(n=0\).