Derivadas parciais de uma função homogênea

Question

Mostre que se \(f: D\subset\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) é homogênea
de grau \(k\), então suas derivadas parciais são homogêneas de grau
\(k-1\)

Answer 1

Suponha que \(f\) homogênea de grau \(k\) . Logo, \(f(tx_1,\cdots,tx_n)=t^kf(x_1,\cdots,x_n)\).

Calculando a derivada em relação a \(x_i\),

\(t\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx_1,\cdots,tx_n)=t^k\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\cdots,x_n) \Rightarrow\) \( \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx_1,\cdots,tx_n)=t^{k-1}\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\cdots,x_n)\)

Portanto, as derivadas parciais de f são homogêneas de grau \(k-1\).