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Derivadas parciais de uma função homogênea

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perguntada Out 2, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Mostre que se \(f: D\subset\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) é homogênea
de grau \(k\), então suas derivadas parciais são homogêneas de grau
\(k-1\)

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1 Resposta

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respondida Out 2, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Suponha que \(f\) homogênea de grau \(k\) . Logo, \(f(tx_1,\cdots,tx_n)=t^kf(x_1,\cdots,x_n)\).

Calculando a derivada em relação a \(x_i\),

\(t\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx_1,\cdots,tx_n)=t^k\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\cdots,x_n) \Rightarrow\) \( \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx_1,\cdots,tx_n)=t^{k-1}\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_1,\cdots,x_n)\)

Portanto, as derivadas parciais de f são homogêneas de grau \(k-1\).

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