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Combinações lineares positivas de funções convexas

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perguntada Out 2, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,261 pontos)  

Sejam \(\{f_1,f_2,\cdots,f_n\}\) um conjunto de funções convexas
do \(\Re^n\) em \(\Re\). Mostre que a combinação linear não negativa
\[f(x)=\alpha_1 f_1 + \cdots + \alpha_n f_n, \;\; \alpha_1, \cdots, \alpha_n \ge 0\]
é convexa. Isso é verdade para qualquer combinação convexa?

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1 Resposta

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respondida Out 2, 2016 por danielcajueiro (5,261 pontos)  

Sejam \(x,y\in\Re^n\) e \(0\le t\le 1\).

\(=(\alpha_1 f_1+\cdots+\alpha_n f_n)(tx+(1-t)y)\)

\(=\alpha_1 f_1(tx+(1-t)y)+\cdots+\alpha_n f_n(tx+(1-t)y)\)

\(\le\alpha_1(tf_1(x)+(1-t)f_1(y))+\cdots+\alpha_n(tf_n(x)+(1-t)f_n(y))\)

\(=t(\alpha_1 f_1(x)+\cdots+\alpha_n f_n(x))+(1-t)(\alpha_1 f_1(y)+\cdots+\alpha_n f_n(y))\)

\(=t(\alpha_1 f_1+\cdots+\alpha_n f_n)(x)+(1-t)(\alpha_1 f_1+\cdots+\alpha_n f_n)(y)\)

\(=tf(x)+(1-t)f(y)\)

Logo, \(f\) é convexa.

A combinação linear \(\alpha_1 f_1+\cdots+\alpha_n f_n\) chama-se uma combinação convexa de \(f_1,\cdots,f_n\in\Re^n\) quando \(\alpha_1+\cdots+\alpha_n=1\) e \(\alpha_i\ge 0\) para \(i=1,\cdots,k\). Portanto, o resultado é válido para qualquer combinação convexa.

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