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Em que caso dois eventos mutuamente excludentes serão independentes?

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perguntada Out 3, 2016 em Estatística por Iúri Honda (141 pontos)  
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2 Respostas

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respondida Out 4, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  
selecionada Out 15, 2016 por Iúri Honda
 
Melhor resposta

Nunca (a menos que eles tenham probabilidade nula)! Dois eventos são mutuamente excludentes quando a ocorrência de um excluir a ocorrência do outro. Logo, eles não podem ser independentes.

Um bom exemplo pode ser encontrado se considerarmos uma variável aleatória que descreve os resultados do lançamento de uma moeda.

Seja \(A\) evento de sair cara e \(B\) o evento de sair coroa.

Logo, \(P(A/B)=0\) e \(P(B/A)=0\).

Para eles serem independentes, eles precisariam ter \(P(A/B)=P(A)\) e \(P(B/A)=P(B)\).

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respondida Out 14, 2016 por Stuart Mill (344 pontos)  

Dois eventos $ A $ e $ B $ são ditos independentes se
\[\mathbb{P}(A\cap B)= \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B).\]
Agora, usando o Teorema de Bayes:
\[\mathbb{P}(A\cap B)=\]
P(A/B)P(A)=0*P(A)=0, para toda P(A)>0.
Assim, não necessariamente as duas probabilidades precisam ser 0. Uma das probabilidades, de fato, precisa ser 0, satisfazendo as condições acima. Assim, se tenho um evento definido como jogar uma moeda para cima, sendo P(A) a probabilidade dela cair no chão, e P(B) a probabilidade dela não cair no chão, conseguimos satisfazer as condições acima (supondo que a moeda não cair é ume vento impossível). Evidentemente, tendo 2 eventos impossíveis, também conseguiríamos satisfazer a condição proposta.

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