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Subespaço Vetorial

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perguntada Out 4, 2016 em Matemática por anônimo  
reclassificado Out 5, 2016

Eu sei que todo conjunto-solução de sistema homogêneo é subespaço vetorial. A recíproca é válida? Se sim, qual a demonstração/prova?

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1 Resposta

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respondida Out 4, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  
selecionada Out 4, 2016
 
Melhor resposta

Sim!

Suponha que \(V=\mathbb{R}^n\).

Se \(W\) não for um subespaço próprio, \(A=0\) resolve o seu problema.

Então, suponha que \(W\) é um subspaço próprio de \(V\) e \(W^\perp\) o complemento ortogonal de \(W\), isto é, o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a \(W\) . Seja \(\{w_1,\cdots,w_m\}\) uma base para \(W^\perp\). Logo, lembrando que no \(\mathbb{R}^n\), dois vetores ortogonais são independentes, para todo \(x\in W\), temos

\[x\cdot w_1=0\]
\[\vdots\]
\[x\cdot w_m=0\]

Ou seja, para todo \(x\in W\), temos

\[Ax=0,\]

onde \(A\) é a matriz cuja cada linha \(i\) é dada por cada vetor \(w_i\).

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