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Qual é a solução do problema de escolha dos agentes supondo que não existe consumo na data 0?

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perguntada Out 10, 2016 em Finanças por Saulo (436 pontos)  

Resolva o problema de escolha dos agentes supondo que não existe consumo na data 0.

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1 Resposta

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respondida Out 10, 2016 por Saulo (436 pontos)  
editado Out 25, 2016 por Saulo

A solução do problema de escolha do consumo/carteira do agente já foi apresentada como parte de outro post (item 1).

Suponha que não existe consumo na data 0, isto é, \(c_0 = 0\). O problema de escolha do consumo/carteira do agente será dado por:
\[ \begin{array}{rrl} \displaystyle\max_{c_1,h} & u(c_1) & ~ \\ ~ & ~ & ~ \\ s.a. & 0 & \leq w_0 - p \cdot h \\ ~ & c_1 & \leq w_1 + X h \\ ~ & c_1 & \geq 0 \end{array} \]

onde \(c_1 = [c_{1,1} ~ \cdots ~ c_{1,s} ~ \cdots ~ c_{1,S}]^T\) é o consumo na data 1 nos estados \(s = 1, \ldots, S\), \(p = [p_1 ~ \cdots ~ p_J]^T\) é o vetor de preços, \(h = [h_1 ~ \cdots ~ h_J]^T\) é uma carteira de ativos, \(X = [x_1 ~ \cdots ~ x_j \cdots ~ x_J]\) é a matriz \(S \times J\) de payoffs.

O Lagrangeano do problema é:
\[ \mathcal{L} = u(c_1) + \lambda_0 (w_0 - p \cdot h) + \sum_{s=1}^{S}{\lambda_s (w_{1,s} + \sum_{j=1}^{J}{x_{sj} h_j} - c_{1,s} )} + \sum_{s=1}^{S}{\alpha_s c_{1,s}} \]

As condições de primeira ordem do problema são:

(i) \( (\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_S, \alpha_1, \ldots, \alpha_S) \neq 0\)

(ii) \( \lambda_0 \geq 0, w_0 - p \cdot h \geq 0, \lambda_0 (w_0 - p \cdot h) = 0\)

\(\lambda_s \geq 0, (w_{1,s} + \sum_{j=1}^{J}{x_{sj} h_j} - c_{1,s}) \geq 0, \lambda_s (w_{1,s} + \sum_{j=1}^{J}{x_{sj} h_j} - c_{1,s}) = 0, \forall s\)

\(\alpha_s \geq 0, c_{1,s} \geq 0, \alpha_s c_{1,s} = 0, \forall s\)

(iii) \(c_{1,s}: \frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} - \lambda_s + \alpha_s = 0, \forall s\)

\(h_j: \sum_{s=1}^{S}{\lambda_s x_{sj}} - \lambda_0 p_j = 0, \forall j\)

Supondo \(c_s > 0, \forall s\), então \(\alpha_s = 0, \forall s\). Logo, a equação de \(c_{1,s}\) fica:

\[ c_{1,s}: \frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} - \lambda_s = 0, \forall s \Rightarrow \lambda_s = \frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}}, \forall s \]

Levando em consideração este resultado, a equação de \(h_j\) fica:

\[ h_j: \sum_{s=1}^{S}{\frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} x_{sj}} - \lambda_0 p_j = 0, \forall j \Rightarrow \frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1}} X = \lambda_0 P \]

Se \( \lambda_0 = 0 \Rightarrow w_0 > p \cdot h \) e:
\[ h_j: \sum_{s=1}^{S}{\frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} x_{sj}} = 0, \forall j \Rightarrow \frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1}} X = 0 \]

E, se a função de utilidade do agente for estritamente crescente, as restrições orçamentárias de \(c_1\) são atendidas com igualdade. Logo, a solução será dada por:
\[ c_1 = w_1 + X h \]

\[ \frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1}} X = 0 \]

Mas, se \( \lambda_0 > 0 \Rightarrow w_0 = p \cdot h \), e também:
\[ \frac{1}{p_j} \sum_{s=1}^{S}{\frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} x_{sj}} = \lambda_0 = \frac{1}{p_k} \sum_{s=1}^{S}{\frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} x_{sk}}, \forall j \neq k \]

\[ \Rightarrow \frac{p_j}{p_k} = \frac{ \sum_{s=1}^{S}{\frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} x_{sj}} }{ \sum_{s=1}^{S}{\frac{\partial u(c_1)}{\partial c_{1,s}} x_{sk}} }, \forall j \neq k \]

comentou Dez 9, 2016 por Edmar Rocha Pereira (21 pontos)  
Como sempre, questão bem respondida e de forma clara! bem didática! o que ajuda a assimilação do conteúdo. A próxima turma vai ter um excelente material de apoio!
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