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Você pode me dar um exemplo de apreçamento em mercados incompletos?

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perguntada Nov 8, 2016 em Finanças por Saulo (456 pontos)  

Considere uma economia com dois estados e com um único ativo com preço e payoff dados respectivamente por \(p_1=1\) e \(x_1 = (1,2)\). Considere que você está tentando apreçar um contrato (não-negociável) com payoff \(x_2 = (x_1 - k(1,1))^{+}\), onde \(k=1\) é um escalar. Assuma que não há arbitragem.

(a) Qual o intervalo de preços possı́veis para esse contrato de opção?

(b) Explicite o conjunto dos possı́veis funcionais de apreçamento para um payoff genérico \((x_1, x_2)\). Ele é linear? Positivo?

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1 Resposta

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respondida Nov 8, 2016 por Saulo (456 pontos)  

(a) Qual o intervalo de preços possı́veis para esse contrato de opção?

Queremos apreçar \(\hat{z} = x_2 = x_1 - \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \).

Os limites inferiores e superiores são:

\[ q_l(z) = \min_{q \geq 0}{ \{ q \cdot z : p = X^T q \} } = \min_{q \geq 0}{ \{ q_1 z_1 + q_2 z_2 : 1 = q_1 + 2 q_2 \} } \]

\[ \hat{z} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow q_l(\hat{z}) = \min_{q \geq 0}{ \{ q_2 : 1 = q_1 + 2 q_2 \} } = 0 \]

\[ q_u(z) = \max_{q \geq 0}{ \{ q \cdot z : p = X^T q \} } = \max_{q \geq 0}{ \{ q_1 z_1 + q_2 z_2 : 1 = q_1 + 2 q_2 \} } \]

\[ \hat{z} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow q_u(\hat{z}) = \max_{q \geq 0}{ \{ q_2 : 1 = q_1 + 2 q_2 \} } = \frac{1}{2} \]

Logo,
\[ q_l(\hat{z}) = 0 \leq \pi \leq \frac{1}{2} = q_u(\hat{z}) \]

(b) Explicite o conjunto dos possı́veis funcionais de apreçamento para um payoff genérico \((x_1, x_2)\). Ele é linear? Positivo?

Sendo \(\mathcal{M} = \{ z \in \mathbb{R}^2 : z = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} h \} = \{ \alpha \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} : \alpha \in \mathbb{R} \} \) e \(\mathcal{N} = \{z + \lambda \hat{z} : z \in \mathcal{M} ~ \text{e} ~ \lambda \in \mathbb{R}\}\), o funcional de apreçamento de payoff é dado por:

\[ Q(z + \lambda \hat{z}) = q(z) + \lambda \pi \]

Como \(q(z) = q\left(~ (\alpha, 2 \alpha) ~\right) = q \cdot z = q_1 \alpha + q_2 (2 \alpha) = \alpha (q_1 + 2 q_2) = \alpha\), então:
\[ Q(z + \lambda \hat{z}) = \alpha + \lambda \pi \]

E como \(z + \lambda \hat{z} = \displaystyle \alpha \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} + \lambda \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \), então:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \alpha \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \Rightarrow Q\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = 1 - 2 \pi \]

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \alpha \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \Rightarrow Q\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \pi \]

De onde pondemos explicitar o conjunto dos possíveis funcionais de apreçamento para um payoff genérico \( \mathbf{x}= (x_1, x_2) \) para \( 0 \leq \pi \leq 1/2 \):
\[ Q(\mathbf{x}) = (1 - 2 \pi) x_1 + \pi x_2 \]

O funcional é linear, pois:
\[ \begin{array}{rcl} Q(\alpha \mathbf{x}) & = & (1 - 2 \pi) (\alpha x_1) + \pi (\alpha x_2) \\ ~ & = & \alpha [ (1 - 2 \pi) x_1 + \pi x_2 ] \\ ~ & = & \alpha Q(\mathbf{x}) \\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{rcl} Q(\mathbf{x} + \mathbf{y}) & = & (1 - 2 \pi) (x_1 + y_1) + \pi (x_2 + y_2) \\ ~ & = & [ (1 - 2 \pi) x_1 + \pi x_2 ] + [ (1 - 2 \pi) y_1 + \pi y_2 ] \\ ~ & = & Q(\mathbf{x}) + Q(\mathbf{y}) \\ \end{array} \]

De acordo com o Teorema de Representação de Riesz, todo funcional linear \(F(x)\) no \(\mathbb{R}^n\) pode ser reescrito como um produto interno:

\[ F(\mathbf{x}) = F\left( \sum_{i=1}^{n}{(x \cdot \mathbf{e}_i) \mathbf{e}_i} \right) = \sum_{i=1}^{n}{(\mathbf{x} \cdot \mathbf{e}_i) F(\mathbf{e}_i)} = \sum_{i=1}^{n}{\mathbf{x} \cdot (\mathbf{e}_i F(\mathbf{e}_i))} \]

\[ \Rightarrow F(\mathbf{x}) = \mathbf{x} \cdot \sum_{i=1}^{n}{ \mathbf{e}_i F(\mathbf{e}_i)} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{f} \]

onde \(\mathbf{f} = \sum_{i=1}^{n}{\mathbf{e}_i F(\mathbf{e}_i)} \). Um corolário deste teorema é que \(F\) é (estritamente) positivo se, e somente se, \(f\) é (estritamente) positivo. Logo, \(Q(\mathbf{x})\) é positivo, pois:
\[ \mathbf{f} = \sum_{s=1}^{S}{\mathbf{e}_s Q(\mathbf{e}_s)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} Q\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} Q\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 - 2 \pi \\ \pi \end{bmatrix} \]

Como \( 0 \leq \pi \leq 1/2 \) e \( 1 - 2 \pi \geq 0 \Rightarrow \pi \leq 1/2 \), \(\mathbf{f} \geq 0\) para todo \(\mathbf{x} \geq 0\).

comentou Dez 8, 2016 por Edmar Rocha Pereira (21 pontos)  
Perfeita a solução! bem organizada as ideias, demostrando que já tem um ótimo conhecimento de Latex, pois as equações e matrizes estão bem elaboradas, e assim, ajudam bastante no entendimento da questão, que não é trivial! Vai contribuir bastante para ajudar os próximos alunos na disciplina.
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