Vamos usar a linearidade da esperança e também que a variância satisfaz
\[
var(X) = \sigma(X)^2 = E\left[X^2\right] - E[X]^2
\]
e que a correlação satisfaz
\[
-1 \leq \rho_{XY} \leq 1
\]
onde
\[
\rho_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)} = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sigma(X)\sigma(Y)}
\]
e a igualdade \(\rho_{XY} = 1\) ocorre se e só se as variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) são perfeitamente correlacionadas. Temos então que
\[
\sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = E\left[(\pi X + (1-\pi)Y)^2\right] - E[\pi X + (1-\pi)Y]^2
\]
Pela linearidade da esperança, segue que
\[
\sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = E\left[(\pi X + (1-\pi)Y)^2\right] - \left(\pi E[X] + (1-\pi)E[Y]\right)^2
\]
de modo que
\[
\sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = E\left[\pi^2 X^2 + 2\pi(1-\pi) XY + (1-\pi)^2Y^2\right] -
\]
\[
- \left(\pi^2E[ X]^2+2\pi(1-\pi)E[X]E[Y]+(1-\pi)^2E[Y]^2\right)
\]
Usando novamente a linearidade da esperança, segue que
\[
\sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = \pi^2E\left[X^2\right] + 2\pi(1-\pi)E[ XY] + (1-\pi)^2E\left[Y^2\right] -
\]
\[
- \left(\pi^2E[ X]^2+2\pi(1-\pi)E[X]E[Y]+(1-\pi)^2E[Y]^2\right)
\]
de modo que
\[
\sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = \pi^2\sigma(X)^2+ 2\pi(1-\pi)cov(X,Y) + (1-\pi)^2\sigma(Y)^2
\]
Pela desigualdade da correlação, segue então que
\[
\sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 \leq \pi^2\sigma(X)^2+ 2\pi(1-\pi)\sigma(X)\sigma(Y) + (1-\pi)^2\sigma(Y)^2
\]
onde a igualdade ocorre se e só se as variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) são perfeitamente correlacionadas. O resultado para o desvio padrão segue então extraindo-se a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade acima, uma vez que o lado direito é igual a
\[
\left(\pi\sigma(X) + (1-\pi)\sigma(Y)\right)^2
\]
O resultado para a variância segue da desigualdade do desvio padrão e da convexidade da função elevar ao quadrado, lembrando que a variância é o quadrado do desvio padrão.