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O desvio padrão e a variância são funções convexas?

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perguntada Nov 13, 2016 em Estatística por Mauro Patrão (71 pontos)  

Mostre que o desvio padrão \(\sigma\) satisfaz
\[ \sigma(\pi X + (1-\pi)Y) \leq \pi\sigma(X) + (1-\pi)\sigma(Y) \]
enquanto a variância \(var\) satifaz
\[ var(\pi X + (1-\pi)Y) \leq \pi var(X) + (1-\pi)var(Y) \]
onde as igualdades ocorrem se e só se as variáveis aleatórias X
e Y são perfeitamente correlacionadas.

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1 Resposta

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respondida Nov 13, 2016 por Mauro Patrão (71 pontos)  

Vamos usar a linearidade da esperança e também que a variância satisfaz
\[ var(X) = \sigma(X)^2 = E\left[X^2\right] - E[X]^2 \]
e que a correlação satisfaz
\[ -1 \leq \rho_{XY} \leq 1 \]
onde
\[ \rho_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)} = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sigma(X)\sigma(Y)} \]
e a igualdade \(\rho_{XY} = 1\) ocorre se e só se as variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) são perfeitamente correlacionadas. Temos então que
\[ \sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = E\left[(\pi X + (1-\pi)Y)^2\right] - E[\pi X + (1-\pi)Y]^2 \]
Pela linearidade da esperança, segue que
\[ \sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = E\left[(\pi X + (1-\pi)Y)^2\right] - \left(\pi E[X] + (1-\pi)E[Y]\right)^2 \]
de modo que
\[ \sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = E\left[\pi^2 X^2 + 2\pi(1-\pi) XY + (1-\pi)^2Y^2\right] - \]
\[ - \left(\pi^2E[ X]^2+2\pi(1-\pi)E[X]E[Y]+(1-\pi)^2E[Y]^2\right) \]
Usando novamente a linearidade da esperança, segue que
\[ \sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = \pi^2E\left[X^2\right] + 2\pi(1-\pi)E[ XY] + (1-\pi)^2E\left[Y^2\right] - \]
\[ - \left(\pi^2E[ X]^2+2\pi(1-\pi)E[X]E[Y]+(1-\pi)^2E[Y]^2\right) \]
de modo que
\[ \sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 = \pi^2\sigma(X)^2+ 2\pi(1-\pi)cov(X,Y) + (1-\pi)^2\sigma(Y)^2 \]
Pela desigualdade da correlação, segue então que
\[ \sigma(\pi X + (1-\pi)Y)^2 \leq \pi^2\sigma(X)^2+ 2\pi(1-\pi)\sigma(X)\sigma(Y) + (1-\pi)^2\sigma(Y)^2 \]
onde a igualdade ocorre se e só se as variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\) são perfeitamente correlacionadas. O resultado para o desvio padrão segue então extraindo-se a raiz quadrada de ambos os lados da desigualdade acima, uma vez que o lado direito é igual a
\[ \left(\pi\sigma(X) + (1-\pi)\sigma(Y)\right)^2 \]
O resultado para a variância segue da desigualdade do desvio padrão e da convexidade da função elevar ao quadrado, lembrando que a variância é o quadrado do desvio padrão.

comentou Nov 13, 2016 por santiago (131 pontos)  
Esclarecedor! Só para facilitar o entendimento da demonstração esclareço que a desigualdade segue de
cov(X,Y) >= sigma(X) sigma(Y)
comentou Nov 13, 2016 por Mauro Patrão (71 pontos)  
Bem observado!
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