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Problema de escolha de carteira que maximiza valor esperado e minimiza variância.

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perguntada Nov 13, 2016 em Finanças por Saulo (436 pontos)  
editado Set 10, 2017 por danielcajueiro

O objetivo aqui é buscar uma carteira que é escolhida de acordo com o seguinte critério de desempenho:
\[ \max_{\pi}{E[R_Z] - \alpha \, var(R_Z)} \]

sujeito a
\[ R_Z = \pi_0 R_0 + \pi_1 R_1 + \cdots + \pi_n R_n \]

onde os retornos \(R_i\) para \(i = 1, 2, \ldots, n\) são variáveis aleatórias independentes e \(R_0\) é o retorno de um ativo livre de risco,

\[ \pi_0 + \pi_1 + \cdots + \pi_n = 1 \]

e \(\alpha\) é o coeficiente de aversão ao risco do investidor. Logo, a carteira que maximiza esse problema é dada por

\[ \pi_i = \frac{ \bar{R}_i - R_0 }{ 2 \, \alpha \, var(R_i) } \]

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1 Resposta

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respondida Nov 13, 2016 por Saulo (436 pontos)  

Considere o seguinte problema de escolha da carteira:
\[ \begin{array}{rl} \displaystyle\max_{\pi} & E[R_Z] - \alpha \, var(R_Z) \\ ~ & ~ & ~ \\ s.a. & R_Z = \pi_0 R_0 + \pi_1 R_1 + \cdots + \pi_n R_n \\ ~ & \pi_0 + \pi_1 + \cdots + \pi_n = 1 \end{array} \]

Substituindo a primeira restrição na função objetivo, o problema pode ser reescrito como:
\[ \begin{array}{rl} \displaystyle\max_{\pi} & \displaystyle E[ \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ] - \alpha \, var( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ) \\ ~ & ~ & ~ \\ s.a. & \pi_0 + \pi_1 + \cdots + \pi_n = 1 \end{array} \]

O Lagrangeano do problema é dado por:

\[ \mathcal{L} = E[ \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ] - \alpha \, var( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ) + \mu \left( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i} - 1 \right) \]

Como \(R_i\) para \(i = 1, 2, \ldots, n\) são variáveis aleatórias independentes, então \(cov(R_i,R_j) = 0\), \(\forall i \neq j\). O Lagrangeano pode ser reescrito como:

\[ \mathcal{L} = \sum_{i=0}^{n}{\pi_i E[R_i]} - \alpha \, \sum_{i=0}^{n}{\pi_i^2 var(R_i)} + \mu \left( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i} - 1 \right) \]

A condição de primeira ordem nos fornece que:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \pi_i} = E[R_i] - \alpha (2 \pi_i) var(R_i) + \mu = 0 \]

\[ \Rightarrow 2 \, \alpha \, var(R_i) \pi_i - E(R_i) = \mu = 2 \, \alpha \, var(R_j) \pi_j - E(R_j), ~ \forall i \neq j \]

Em particular, para \(j=0\), temos:

\[ 2 \, \alpha \, var(R_i) \pi_i - E(R_i) = \mu = 2 \, \alpha \, var(R_0) \pi_j - E(R_0) \]

Como \(R_0\) é o retorno de um ativo livre de risco, \(var(R_0) = 0\). Sendo \(E(R_i) = \bar{R}_i\), e fazendo o abuso de notação \(E(R_0) = R_0\), portanto, temos:

\[ \pi_i = \frac{ E(R_i) - E(R_0) }{ 2 \, \alpha \, var(R_i) } = \frac{ \bar{R}_i - R_0 }{ 2 \, \alpha \, var(R_i) } \]

comentou Nov 13, 2016 por Mauro Patrão (71 pontos)  
Muito bom! Resposta clara e didática!
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