Considere o seguinte problema de escolha da carteira:
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle\max_{\pi} & E[R_Z] - \alpha \, var(R_Z) \\
~ & ~ & ~ \\
s.a. & R_Z = \pi_0 R_0 + \pi_1 R_1 + \cdots + \pi_n R_n \\
~ & \pi_0 + \pi_1 + \cdots + \pi_n = 1
\end{array}
\]
Substituindo a primeira restrição na função objetivo, o problema pode ser reescrito como:
\[
\begin{array}{rl}
\displaystyle\max_{\pi} & \displaystyle E[ \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ] - \alpha \, var( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ) \\
~ & ~ & ~ \\
s.a. & \pi_0 + \pi_1 + \cdots + \pi_n = 1
\end{array}
\]
O Lagrangeano do problema é dado por:
\[
\mathcal{L} = E[ \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ] - \alpha \, var( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i R_i} ) + \mu \left( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i} - 1 \right)
\]
Como \(R_i\) para \(i = 1, 2, \ldots, n\) são variáveis aleatórias independentes, então \(cov(R_i,R_j) = 0\), \(\forall i \neq j\). O Lagrangeano pode ser reescrito como:
\[
\mathcal{L} = \sum_{i=0}^{n}{\pi_i E[R_i]} - \alpha \, \sum_{i=0}^{n}{\pi_i^2 var(R_i)} + \mu \left( \sum_{i=0}^{n}{\pi_i} - 1 \right)
\]
A condição de primeira ordem nos fornece que:
\[
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \pi_i} = E[R_i] - \alpha (2 \pi_i) var(R_i) + \mu = 0
\]
\[
\Rightarrow 2 \, \alpha \, var(R_i) \pi_i - E(R_i) = \mu = 2 \, \alpha \, var(R_j) \pi_j - E(R_j), ~ \forall i \neq j
\]
Em particular, para \(j=0\), temos:
\[
2 \, \alpha \, var(R_i) \pi_i - E(R_i) = \mu = 2 \, \alpha \, var(R_0) \pi_j - E(R_0)
\]
Como \(R_0\) é o retorno de um ativo livre de risco, \(var(R_0) = 0\). Sendo \(E(R_i) = \bar{R}_i\), e fazendo o abuso de notação \(E(R_0) = R_0\), portanto, temos:
\[
\pi_i = \frac{ E(R_i) - E(R_0) }{ 2 \, \alpha \, var(R_i) } = \frac{ \bar{R}_i - R_0 }{ 2 \, \alpha \, var(R_i) }
\]