Precisamos provar que \(\forall t\in [0,1]\) e \(\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}^2\) temos \(f(t(x_1,y_1) + (1-t) (x_2,y_2))\le t f(x_1,y_1) + (1-t) f(x_2,y_2)\).
Então,
\(f(t(x_1,y_1) + (1-t) (x_2,y_2))=g(t x_1 + (1-t) x_2) + h(t y_1 + (1-t) y_2) \)
Usando o fato que \(g\) e \(h\) são convexas, temos
\(g(t x_1 + (1-t) x_2)\le tg(x_1) + (1-t) g(x_2)\)
e
\(h(t y_1 + (1-t) y_2)\le th(y_1) + (1-t) h(y_2)\)
Logo,
\(f(t(x_1,y_1) + (1-t) (x_2,y_2))\le tg(x_1) + (1-t) g(x_2) + th(y_1) + (1-t) h(y_2)=\)
\(t(g(x_1) + h(y_1)) + (1-t) (g(x_2) + h(y_2))=\)
\(=t f(x_1,y_1) + (1-t) f(x_2,y_2)\)
Portanto, \(f\) é convexa.