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Como são calculados os Kernels de valor esperado e de apreçamento para um mercado incompleto e como podem ser utilizados para definir a fronteira média-variância?

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1 Resposta

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respondida Nov 21, 2016 por Peng Yaohao (101 pontos)  
editado Nov 21, 2016 por Peng Yaohao

Considere um exemplo genérico com a matriz de payoffs \(X=\left(\begin{array}{cc}1&1 \\ 1&2 \\ 0&0\end{array}\right)\) com dois ativos \(x_1\) e \(x_2\) com preços \(p=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3}&1\end{array}\right)^T\) e uma economia com três estados cuja distribuição de probabilidade é dada por \(\pi=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right)^T\)

Observa-se que o asset span \(\mathcal{M}\) formado pelo subespaço gerado pelos payoffs possíveis, a qual constitui no conjunto de informações disponíveis para esse mercado, que claramente é incompleto (i.e.: \(\mathcal{M}\neq \mathbb{R}^S,S=3\))

O Kernel do valor esperado é o vetor \(k_e\in \mathcal{M}\) tal que, para todo payoff gerável \(z \in \mathcal{M}\), o valor esperado de \(z\), \(E[z]\), é dado por \(E[k_ez]\).

\(k_e\) é obtido aplicando a definição para os payoffs disponíveis \(x_1\) e \(x_2\), as quais formam as colunas da matriz de payoffs \(X\). Pela definição usual de valor esperado:

\(E[x_1]=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\frac{2}{3}=E[k_ex_1]\)

\(E[x_2]=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=1=E[k_ex_2]\)

Por definição, \(k_e\in \mathcal{M}\). Ou seja, \(k_e\) pode ser escrito como uma combinação linear das colunas da matriz \(X\), de modo que:

\(k_e=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2=\alpha_1\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+\alpha_2\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha_1+\alpha_2 \\ \alpha_1+2\alpha_2 \\ 0\end{array}\right);\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\)

Desenvolvendo o valor esperado do produto \(E[xy]=\sum\limits_{s=1}^S{\pi_sx_sy_s}\), onde \(x,y\in \mathbb{R}^S\) e \(\pi\) é a distribuição de probabilidade dos estados, obtém-se que:

\(E[k_ex_1]=\frac{1}{3}(\alpha_1+\alpha_2)(1)+\frac{1}{3}(\alpha_1+2\alpha_2)(1)+\frac{1}{3}(0)(0)=\frac{2}{3}\)
\(E[k_ex_2]=\frac{1}{3}(\alpha_1+\alpha_2)(1)+\frac{1}{3}(\alpha_1+2\alpha_2)(2)+\frac{1}{3}(0)(0)=1\)

Resolvendo o sistema (2 equações e 2 incógnitas) para \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\), obtém-se que \(\alpha_1=1\) e \(\alpha_2=0\), implicando que:

\(k_e=\left(\begin{array}{c}\alpha_1+\alpha_2 \\ \alpha_1+2\alpha_2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\)

A mesma ideia se aplica para o Kernel de apreçamento, o qual é o vetor \(k_q\in \mathcal{M}\) tal que, para todo payoff gerável \(z \in \mathcal{M}\), o preço de \(z\) dado pelo funcional de apreçamento, \(q(z)\), é dado por \(E[k_qz]\).

Procedendo da mesma forma, \(k_q\) é obtido aplicando a definição para os payoffs disponíveis \(x_1\) e \(x_2\). Os preços de \(x_1\) e \(x_2\) são dados, tal que:

\(q(x_1)=p_1=\frac{2}{3}=E[k_qx_1]\)
\(q(x_2)=p_2=1=E[k_qx_2]\)

Por definição, \(k_q\in \mathcal{M}\). Donde segue que \(k_q\) também pode ser escrito como uma combinação linear das colunas da matriz \(X\):

\(k_q=\beta_1x_1+\beta_2x_2=\beta_1\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+\beta_2\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\beta_1+\beta_2 \\ \beta_1+2\beta_2 \\ 0\end{array}\right);\beta_1,\beta_2\in\mathbb{R}\)

Desenvolvendo o valor esperado do produto:

\(E[k_qx_1]=\frac{1}{3}(\beta_1+\beta_2)(1)+\frac{1}{3}(\beta_1+2\beta_2)(1)+\frac{1}{3}(0)(0)=\frac{2}{3}\)
\(E[k_qx_2]=\frac{1}{3}(\beta_1+\beta_2)(1)+\frac{1}{3}(\beta_1+2\beta_2)(2)+\frac{1}{3}(0)(0)=1\)

Resolvendo o sistema (2 equações e 2 incógnitas) para \(\beta_1\) e \(\beta_2\), obtém-se que \(\beta_1=1\) e \(\beta_2=0\), implicando que:

\(k_q=\left(\begin{array}{c}\beta_1+\beta_2 \\ \beta_1+2\beta_2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\)

Coincidentemente, os Kernels de valor esperado e apreçamento são os mesmos.

De fato, aplicando \(k_q\) nos payoffs \(x_1\) e \(x_2\) verifica-se que os preços \(q(x_1)\) e \(q(x_2)\) são dados por:

\(q(x_1)=E[k_qx_1]=\frac{1}{3}(1)(1)+\frac{1}{3}(1)(1)+\frac{1}{3}(0)(0)=\frac{2}{3}\)
\(q(x_2)=E[k_qx_2]=\frac{1}{3}(1)(1)+\frac{1}{3}(1)(2)+\frac{1}{3}(0)(0)=1\)

A fronteira média-variância é o subespaço \(\mathcal{E}\) gerado pelos kernels \(k_e\) e \(k_q\). Como os dois são iguais nesse caso, \(\mathcal{E}=span\{(1,1,0)\}\). Dado que \(k_e\) e \(k_q\) definem essa fronteira, os retornos dos payoffs nessa fronteira são os kernels \(k_e\) e \(k_q\) divididos pelos seus respectivos preços, dados por \(k_q\), a saber:

\(r_e=\frac{k_e}{q(k_e)}=\frac{k_e}{E[k_qk_e]}=\frac{\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right)^T}{\frac{1}{3}(1)(1)+\frac{1}{3}(1)(1)+\frac{1}{3}(0)(0)}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}&\frac{3}{2}&0\end{array}\right)^T\)
\(r_q=\frac{k_q}{q(k_q)}=\frac{k_q}{E[k_qk_q]}=\frac{\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\end{array}\right)^T}{\frac{1}{3}(1)(1)+\frac{1}{3}(1)(1)+\frac{1}{3}(0)(0)}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}&\frac{3}{2}&0\end{array}\right)^T\)

comentou Dez 2, 2016 por João Gabriel Souza (81 pontos)  
editado Dez 7, 2016 por João Gabriel Souza
Exemplo bem elaborado e resolvido de forma bastante didática. Muito bem explicado.

Apenas com intuito de contribuir com a explanação do exercício bem desenvolvido. Seria interessante deixar ao longo da apresentação do Kernel de apreçamento que este é único mesmo em mercados incompletos.
Além de que seria interessante deixar explanado que a variância é mínima levando-se em consideração que a projeção ortogonal de z em \(\epsilon\) deixa \(\epsilon\) ortogonal a \(k_q\) e \(k_e\), com isso prova-se que a \(var[z^{\epsilon}]\) é menor ou igual a \( var[z]\), portanto é mínima.
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