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Exercício sobre Kernel de Valor Esperado e de Apreçamento.

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perguntada Nov 24, 2016 em Finanças por monique de abreu (76 pontos)  
editado Dez 11, 2016 por monique de abreu

Considere que:

1. A distribuição de probabilidades dos estados da natureza é dada por:
\[ π = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})\].

2. Sejam comercializados 2 ativos no mercado, com os seguintes payoffs
\(x_1=(1,1,0) \) e \(x_2=(0,1,1) \) e preços \(p_1=1\) e \(p_2=\frac{4}{3} \)

Observação: Considere que o produto interno a ser considerado é o produto interno do valor esperado.

Então:

(a) Caracterize o subsespaço gerado pelo payoff de todos os ativos.

(b) Ache o kernel associado ao valor esperado.

(c) O kernel associado ao funcional de apreçamento.

(d) Por fim, encontre o subespaço vetorial que é ortogonal a ambos vetores considerados nos itens (b) e (c).

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1 Resposta

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respondida Nov 25, 2016 por monique de abreu (76 pontos)  
editado Dez 12, 2016 por monique de abreu

a. O subespaço vetorial gerado pelo payoff dos ativos 1 e 2 considerados denomina-se Asset Span e pode ser compreendido como os payoffs geráveis \(M \in \mathbb{R}^S = \mathbb {R}^3\), uma vez que são levados em consideração três estados da economia. A solução geral analítica indicada abaixo mostra o subespaço vetorial para os payoffs dados dos ativos.

\[ M = \alpha_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + \alpha_2 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_1 + \alpha_2 \\ \alpha_2 \end{array}\right) \]

b. O Kernel Esperado de cada ativo, representado por \(K_e\), é dado pelos payoffs ponderados pela probabilidade dos estados, como apresenta a seguinte fórmula:

\[ K_e = h_1 . x_1 + h_2 . x_2 + h_3 . x_3 \]

Onde:
\(h\): probabilidades dos estados
\(x_1\): payoff do ativo 1
\(x_2\): payoff do ativo 2
\(x_3\): payoff do ativo 2

Na sequência, substituímos as variáveis da fórmula acima pelos valores assumidos para as probabilidades de estados e payoffs de cada ativo. Assim, temos os seguintes resultados para os Kernels do valor esperado do ativo 1, \(E(K_e x_1)\), e do ativo 2, \(E(K_e x_2)\), respectivamente:

\[ E(K_e x_1) = \frac{1}{3} . 1 + \frac{1}{3} . 1 + \frac{1}{3} . 0 = \frac{2}{3} \]
\[ E(K_e x_2)=\frac{1}{3} . 0 + \frac{1}{3} . 1 + \frac{1}{3} . 1 = \frac{2}{3} \]

Para encontrar o Kernel do valor esperado do ativo 3 , \(E(K_e x_3)\), é necessário encontrar os valores de \(α_1\) e \(α_1\), componentes do subespaço vetorial gerado pelos payoff dos ativos, apresentados no item (a). Eles podem ser encontrados por intermédio das fórmulas Kernels do valor esperado do ativo 1, \(E(K_e x_1)\), e do ativo 2, \(E(K_e x_2)\), formando um sistema com duas equações e duas incógnitas. Veja o desenvolvimento abaixo:

Kernel do valor esperado para o ativo 1
\[ E(K_e x_1) = Σ π . k_e . x_1 \]
\[ \frac{2}{3}=\frac{1}{3} . α_1 . 1 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 + \frac{1}{3} . α_2 . 0 \]
\[ α_2 = 2 – 2 α_1 \]

Kernel do valor esperado para o ativo 2
\[ E(K_e x_2) = Σ π . k_e . x_2 \]
\[ \frac{2}{3}=\frac{1}{3} . α_1 . 0 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 +\frac{1}{3} . α_2 . 1 \]
\[ α_1 = 2 – 2α_2 \]

Sistema com 2 equações e 2 incógnitas

Equação I: \(α_2 = 2 – 2 α_1\)
Equação II: \(α_1 = 2 – 2α_2\)

Substituindo \(α_1\) em \(α_2\):

\[ α_2 = 2 – 2 . α_1 \]
\[ α_2 = 2 – 2 . (2 – 2 α_2) \]
\[ α_2 = \frac{2}{3} \]

Substituindo \(α_2\) em \(α_1\):

\[ α_1 = 2 – 2α_2 \]
\[ α_1 =\frac{2}{3} \]

Logo, trazendo à tona a solução analítica do item (a) para \(M \in \mathbb{R}^S = \mathbb{R}^3\) e substituindo as variáveis \(α_1\) e \(α_1\) pelos valores encontrados acima:
\[ K_e = (K_e x_1, K_e x_2, K_e x_3) \]
\[ K_e = (α_1, α_1 + α_2, α_2) \]
\[ K_e = (\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}) \]

c. Para determinar Kernel de apreçamento, \(K_q\), associado ao funcional de apreçamento \(q\), é importante lembrar, antes, que ele é o único payoff em \(M\) que satisfaz:
\[ q(z) = E(K_q z), Ɐ z\in M \]

O cálculo do Kernel de apreçamento de um ativo \(i\) é dado pelo vetor de preços de estados ponderado pelas probabilidades de cada estado, conforme a seguinte fórmula:
\[ E(K_q x_i) = Σ π_i . K_q . x_i \]
E, além disso,
\[ E(K_q x_i) = P_i \]

Portanto, o Kernel de apreçamento do ativo 1 , \(E(K_q x_1)\), e do ativo 2, \(E(K_q x_2)\), são determinados a seguir:

Kernel de apreçamento do ativo 1
\[ E(K_q x_1) = Σ π_1 . K_q . x_1 \]
\[ E(K_q x_1) = P_1 \]
\[ \frac{1}{3} . α_1 . 1 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 + \frac{1}{3} . α_2 . 0 = 1 \]
\[ α_2 = 3 – 2α_1 \]

Kernel de apreçamento do ativo 2
\[ E(K_q x_2) = Σ π_2 . k_q . x_2 \]
\[ E(K_q x_2) = P_2 \]
\[ \frac{1}{3} . α_1 . 0 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 + \frac{1}{3} . α_2 . 1 = \frac{4}{3} \]
\[ α_1 = 4 – 2α_2 \]

Novamente, temos um sistema com 2 equações e 2 incógnitas cuja solução é necessária para estimar o Kernel de apreçamento do ativo 3, \(E(K_q x_3)\):

Sistema

Equação I: \(α_2 = 3 – 2α_1\)
Equação II: \(α_1 = 4 – 2α_2\)

Assim, substituindo \(α_1\) em \(α_2\):

\[ α_2 = 3 – 2α_1 \]
\[ α_2 = 3 – 2 . (4 – 2α_2) \]
\[ α_2 = \frac{5}{3} \]

Substituindo \(α_1\) em \(α_2\):

\[ α_1 = 4 – 2α_2 \]
\[ α_1 = 4 – 2 . \frac{5}{3} \]
\[ α_1 = \frac{2}{3} \]

Assim como feito para o Kernel de valor esperado, trazemos à tona a solução analítica do item (a) para \(M \in \mathbb{R}^S = \mathbb{R}^3\) e substituímos as variáveis \(α_1\) e \(α_1\) pelos valores destas encontrados acima. Note que os valores de \(α_1\) e \(α_1\) são diferentes daqueles encontrados para o Kernels de valor esperado.
\[ K_q = (K_q x_1, K_q x_2, K_q x_3) \]
\[ K_q = (α_1, α_1 + α_2, α_2) \]
\[ α_1 + α_2 = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \]
Logo,
\[ K_q = (\frac{2}{3},\frac{7}{3},\frac{5}{3}) \]

d. O subespaço vetorial ortogonal aos vetores encontrados nos itens b. e c. é dado por:

\[ ε \ \ ortogonal = F \]
Considerando que:
\[ x ̝ y ↔ < x,y > = 0 \]

Então temos um Sistema:

Equação I: \(x_1 . E(K_e x_1) + x_2 . E(K_e x_2) + x3 . E(K_e x_3) = 0\)
Equação II: \(x_1 . E(K_q x_1) + x_2 . E(K_q x_2) + x3 . E(K_q x_3) = 0\)

Substituindo os valore encontrados no Sistema:

Equação I: \(x_1 . \frac{2}{3} + x_2 . \frac{4}{3} + x3 . \frac{2}{3} = 0\)
Equação II: \(x_1 . \frac{2}{3} + x_2 . \frac{7}{3} + x3 . \frac{5}{3} = 0\)

Simplificando as equações \(I\) e \(II\) do Sistema:

Equação I: \(2 x_1 + 4 x_2 + 2 x_3 = 0\)
Equação II: \(2 x_1 + 7 x_2 + 5 x_3 = 0\)

Diminuindo a Equação \(II\) pela Equação \(I\), temos a Equação \(III\):
\[ 3x_2 + 3 x_3 = 0 \]
\[ x_2 = - x_3 \]

Na Equação \(I\), já simplificada, podemos simplifica-la ainda mais, dividindo os termos por 2, e ainda, substituir \(x_3\) por \(- x_2\):

\[ x_1 + 2 . x_2 + x_3 = 0 \]
\[ x_1 + 2 . x_2 - x_2 = 0 \]
\[ x_1 + x_2 = 0 \]
\[ x_1 = - x_2 \]

Na Equação \(III\) , podemos substituir \(x_2\) por \(-x_1\):
\[ x_2 = -x_3 \]
\[ -x_1 = - x_3 \]
\[ x_1 = x_3 \]

Em posse dessas informações, é possível construir a solução geral do problema:

\[ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ -x_1 \\ x_1 \end{array}\right) = x_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \]

Referência Bibliográfica

S. F. LeRoy, J. Werner e S. A. Ross Principles of Financial Economics. Cambridge University Press 2000.

comentou Nov 30, 2016 por João Gabriel Souza (81 pontos)  
editado Dez 8, 2016 por João Gabriel Souza
Resposta bastante clara e didática.  Exercício resolvido corretamente e bem formatado.

Faria uma sugestão de comentar no final do exercício que  como o subespaço gerado pelos ativos 1 e 2 é o \(\mathbb{R}^3\), que compreende os três estados gerados para cada ativo. Como são dois ativos, um dos três estados é a combinação linear de \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\) (outros dois estados), conforme representado acima. Isso implica que o subespaço gerado pelo vetor ortogonal, letra (d), estará em \(\mathbb{R}^1\), como representado no exercício por \(x_1\).  Acho que facilitaria a interpretação do exercício.
comentou Dez 7, 2016 por monique de abreu (76 pontos)  
Com certeza! Valeu pela sugestão!
comentou Out 29, 2018 por Stuart Mill (1,124 pontos)  
Outra forma de resolver seria calcular o kernel de valor esperado como a projeção ortogonal do vetor unitário sobre o subespaço gerado pelos ativos, cujas bases são os payoffs dos 2 ativos.

Além disso, como o subespaço ortogonal aos dois kernels é o subespaço ortogonal ao gerado pelos ativos (asset span), ele é o complemento ortogonal do espaço-linha gerado pelos ativos (o núcleo da matriz de payoffs onde as linhas são os payoffs de cada ativo). Esse complemento ortogonal, por sua vez, é o subespaço-solução do sistema homogêneo gerado por essa matriz.
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