Antes de começar a responder a pergunta, fica a seguinte sugestão de leitura para a melhor compreensão das técnicas utilizadas:
RESPOSTA:
Para encontrar o preço solicitado, vamos começar com a maximização da utilidade para ambos os agentes(utilizando uma técnica de substituição para facilitar), que como veremos, serão idênticas, e após isso faremos o procedimento do Market Clearing para encontrar os valores.
(I) As funções de utilidade são da seguinte forma:
\(U^{A} = lnc_1 + lnc_2\)
\( U^{B} = lnc_1 + lnc_3 \)
(II) Como ambas são estritamente crescentes em C>0, podemos afirmar que as restrições de consumo serão igualdades, e com isso:
\(c_0 = w_0 - ph\)
fica da seguinte forma:
\(0=0-ph\)
\(ph=0\)
E assim:
\(0 = h^{A}_1+ph^{A}_2 \)
(III) A maximização do agente A:
Restrições para \(c^{A}_1 e c^{A}_2\):
\(c^{A}_1 = 1+h^{A}_1\)
\(c^{A}_2 = 1/3+h^{A}_2\)
\(\mathcal{L}= lnc^{A}_1+ lnc^{A}_2 - \lambda_1( h^{A}_1 + p_2h^{A}_2) - \lambda_2(c^{A}_1 - 1 -h^{A}_1) - \lambda_3(c^{A}_2 - 1/3 - h^{A}_2)\)
Note que é possível substituir as restrições dentro do problema de maximização sem que ocorra perda de generalidade, com isso o novo problema ficaria assim:
\(\mathcal{L} = ln(1+h^{A}_1) + ln(1/3 -h^{A}_1)\)
O que torna o problema de maximização bem mais simples, dado que é apenas uma variável agora.
A condição de primeira ordem é:
\(\frac{\partial L }{\partial h^{A}_1 } = \frac{1}{1+h^{A}_1} - \frac{1}{p_2(1/3-h^{A}_1)}=0\)
E com isso:
\(h^{A}_1=\frac{p_2}{6}-1/2 \)
(IV) Realizando o mesmo procedimento para o agente B, chegaremos ao mesmo resultado:
\(h^{B}_1=\frac{p_2}{6}-1/2 \)
(V) Realizando agora o Market Clearing:
\(h^{A}_1+ h^{B}_1= 0 \)
\(\frac{p_2}{6}-1/2+\frac{p_2}{6}-1/2= 0 \)
\(\frac{p_2}{3}=1\)
\(p_2=3\)
Que é o resultado do item.
b) Note que o ativo de payoff (2,3,3)’ pode ser atingido através de uma combinação linear dos ativos 1 e 2 descritos no enunciado. Portanto, como vale a lei do preço único, podemos afirmar que:
\(p_3=2p_1+3p_2\)
\(p_3=2+9=11\)
Pois o terceiro ativo pode ser atingido com a carteira:
\(2h_1+3h_2\).
c) Inicialmente, para encontrar as probabilidades, vamos recorrer às seguintes fórmulas:
\(\pi*_s=q_s/\sum{q_s}\)
\(q’=p’X\)
Para resolver, utilizamos os vetor de preço e a matrix de payoffs para encontrar o valor do vetor q, que será \((1,q_2,3-q_2)\)’
Com isso, temos que
\(\sum{q_s}=1+q_2+3-q_2=4\)
\(\pi_1=1/4\)
\(\pi_2=\frac{q_2}{4}\)
\(\pi_3=\frac{3-q_2}{4}\)
E como, q' tem que ser positivo para ausência de arbitragem:
\(0\leq\pi_2\leq3/4\)
\(0\leq\pi_3\leq3/4\)
d) e e) Os dois últimos itens da questão serão feitos em conjunto, dado que trata-se da montagem do problema e da resolução do mesmo.
Inicialmente, para montar os limitantes superiores e inferiores de um direito contingente que não pertence ao espaço de ativos, existem vários caminhos possíveis. Aqui mostraremos um caso apenas, caso alguém se interesse por resolvê-lo de modo diferente, fica a sugestão.
\(q_u= min(ph ; Xh \geq z)\)
\(q_l=max(ph ; Xh \leq z)\)
A resolução:
\(q_u=10\)
\(q_l=7\)