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Encontre os pontos críticos de \(f(x,y)=\log(1+x^2 y)\) e caracterize esses pontos.

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perguntada Dez 4, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,251 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Dez 4, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{2xy}{1+x^2 y}=0\) e \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{x^2}{1+x^2 y}=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Note que todos os pontos \(x=0\), isto é, todos os pontos do eixo \(y\) são pontos críticos.

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função e avalie a positividade (negatividade) dessa matriz:

Se você calcular a matriz hessiana, você perceberá que a matriz hessiana é nula nos pontos \(x=0\).

4) Você pode estudar a otimalidade de um ponto no eixo \(y\) substituindo por um valor \(y=b\gt 0\) ou \(y=b\lt 0\).

Note que se \(b\gt 0\), então \(f(\epsilon,b)=log(1+\epsilon^2 b)\gt 0\), para todo \(\epsilon\ne 0\). Portanto, \((0,b\gt 0)\) é um ponto de mínimo local.

Por outro lado, note que se \(b\lt 0\), então \(f(\epsilon,b)=log(1+\epsilon^2 b)\lt 0\), para todo \(-1 \lt \epsilon^2 b\lt 0\). Portanto, \((0,b\lt 0)\) é um ponto de máximo local.

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