Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=100 -e^{-x}-e^{-y} +\lambda (px+qy-m)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=e^{-x}+\lambda p=0\;\; (1)\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=e^{-y}+\lambda q=0 \;\; (2)\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(px+qy-m)=0\;\; (3)\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Dividindo (1) por (2), temos
\(y-x=\log(p/q)\) que junto com (2) forma um sistema linear que tem uma solução única.
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & p & q\\ p & -e^{-x} & 0 \\ q & 0 & -e^{-y}\end{array} \right]\]
6) Checar se o pontos é máximo ou mínimo
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):
\(|H_o|=q^2 e^{-x} +p^2 e^{-y}\gt 0\)
Logo, temos um ponto de máximo local.