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Encontre os pontos críticos de \(f(x,y)=100-e^{-x}-e^{-y}\) sujeito a \(px+qy=m\) e caracterize esses pontos.

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perguntada Dez 4, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,806 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Dez 4, 2016 por danielcajueiro (5,806 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=100 -e^{-x}-e^{-y} +\lambda (px+qy-m)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=e^{-x}+\lambda p=0\;\; (1)\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=e^{-y}+\lambda q=0 \;\; (2)\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(px+qy-m)=0\;\; (3)\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Dividindo (1) por (2), temos

\(y-x=\log(p/q)\) que junto com (2) forma um sistema linear que tem uma solução única.

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & p & q\\ p & -e^{-x} & 0 \\ q & 0 & -e^{-y}\end{array} \right]\]

6) Checar se o pontos é máximo ou mínimo

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):

\(|H_o|=q^2 e^{-x} +p^2 e^{-y}\gt 0\)

Logo, temos um ponto de máximo local.

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