Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.
1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:
\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2e^{2x}-2=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=4y=0\)
2) Encontre as soluções do sistema de equações:
É trivial perceber que a solução do sistema acima é \((x,y)=(0,0)\).
3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:
\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 4 e^{2x} & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right]\]
4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.
\[H_{(0,0)}=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right]\]
com
\(|H_1|=4\)
\(|H_2|=16\)
que é um ponto de mínimo.