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Ache o ponto extremo de \(f(x,y)=e^{2x} -2x + 2y^2 + 3\). Teste se esse ponto é máximo ou mínimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e propriedades das formas quadráticas.

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perguntada Dez 4, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,251 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Dez 4, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2e^{2x}-2=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=4y=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

É trivial perceber que a solução do sistema acima é \((x,y)=(0,0)\).

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 4 e^{2x} & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right]\]

4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H_{(0,0)}=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right]\]

com

\(|H_1|=4\)

\(|H_2|=16\)

que é um ponto de mínimo.

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