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Ache todos os pontos extremos de \(f(x,y)=x^{1/2} +y\) sujeito a \(4x+y=1\). Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mínimo utilizando o Hessiano orlado.

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perguntada Dez 4, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,371 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Dez 4, 2016 por danielcajueiro (5,371 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=x^{1/2}+y+\lambda (4x+y-1)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=1/2 x^{-1/2}+4\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=1+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(4x+y-1)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Das equações acima, é óbvio que \((\lambda, x, y)=(-1,1/64,15/16)\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 4 & 1\\ 4 & -1/4 x^{-3/2} & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array} \right]\]

6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):

\[|H_o|=\left|\begin{array}{ccc} 0 & 4 & 1\\ 4 & -128 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array} \right|=128\gt 0\]

Logo, temos um ponto de máximo.

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