Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Estude a concavidade/convexidade de \(f(x,y)=x+y-e^{x}-e^{x+y} \).

0 votos
632 visitas
perguntada Dez 4, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,726 pontos)  
Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Dez 4, 2016 por danielcajueiro (5,726 pontos)  

Você precisa apenas checar se a matriz de segundas derivadas é positiva ou negativa definida.

1) Calcule as derivadas

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=1 -e^x -e^{x+y}\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=1-e^{x+y}\)

2) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=D^2 f=\left[\begin{array}{cc} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{array} \right]=\left[\begin{array}{cc} -e^x -e^{x+y} & -e^{x+y} \\ -e^{x+y} & -e^{x+y}\end{array} \right]\]

3) Calcule os determinantes das submatrizes principais:

\(|H_1|=-e^x -e^{x+y} \lt 0\)

\(|H_2|=e^{2x+y}\gt 0\)

Note que a matriz é negativa definida. Logo, a função é estritamente côncava.

...