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Como caracterizar a fronteira media-variância?

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perguntada Dez 7, 2016 em Finanças por Edmar Rocha Pereira (21 pontos)  
editado Dez 12, 2016 por Edmar Rocha Pereira

Uma forma bem popular de caracterizar a fronteira media-variância é utilizar os seguintes retornos:

a) \(\quad{ r }_{ q }\quad\) que é o retorno associado ao Kernel \(k_{ q }\) que aparece na representação \(q(z)=E(k_{ q }z) \) \(\quad ∀z\quad ∈\quad M\), ou seja, um Kernel que tem sabor de desconto;

b) um retorno que dá o valor esperado de retornos em excesso, isto é, \( E[{ r }_{ e }]\quad =\quad E[{ r }_{ e }^{ * }{ r }_{ e }] \) , \({ r }_{ e }\quad ∈\quad { M }_{ e }\)
onde \({ M }_{ e }\) = espaço de todos os retornos em excesso = {\({ r }_{ e }∈{ M }_{ e }\) \(⊂ { M }\) tal que \(q(r^{ e })=0\)}.

\[\quad\]

Pede-se:

\[\quad\]

a) Mostre que \(\quad { r }_{ q }\quad =\quad \frac { { k }_{ q } }{ { E[{ k }_{ q }^{ 2 } }] } \).

\[\quad\]

b) Mostre como escrever \( \overline { r }\) a partir de \({ r }_{ q }\) , se ela estiver em \({ M }\).

\[\quad\]

c) Mostre que \( \quad { r }_{ e }^{ * }\quad =\quad proj(e|{ M }^{ e })\).

\[\quad\]

d) Mostre que E[\({ r }_{ e }^{ * }\)] = E[(\({ r }_{ e }^{ * })^2\)].

\[\quad\]

e) Mostre que \(\quad{ r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) são ortogonais.

\[\quad\]

f) Mostre que se \( \overline { r }\) estiver em \(\quad{ M },\quad\) então \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) = \(\quad e−\frac { 1 }{ r } { r }_{ q }\).

\[\quad\]

g) Mostre que todo retorno \({ r }^{ i }\) pode ser escrito pela representação
\({ r }^{ i }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }^{ i }{ r }_{ e }^{ * }\quad +\quad ηi\)
onde \(\quad { w }^{ i }\) é um número associado ao ativo \(i\) e \(ηi\) é um retorno em excesso com a propriedade \(E[ηi]\quad =\quad 0\)
Em particular, mostre que \(ηi\) é ortogonal a \( { r }_{ q }\quad\)e\(\quad{ r }_{ e }^{ * }\).

\[\quad\]

h) Mostre que todo todo retorno na fronteira média-variância pode ser escrito como \(\quad { r }^{ mv }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }{ r }_{ e }^{ * }\).

\[\quad\]

i)O que ocorre com \( { r }_{ q }\), \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) e a fronteira média-variância se os investidores são neutros ao risco? Analise dois casos: quando \( \overline { r }\) é
comercializada e no caso contrário.

\[\quad\]

j) Conclua o problema discutindo porque essa é uma forma especialmente interessante para representar a fronteira média variância.

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comentou Dez 7, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  
Por que voce esta colocando essa foto? Nao está escrito já?
comentou Dez 7, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  
O título da questão deve ser algo que chame atenção sobre o tema da questão. Não a primeira linha, pois fica totalmente sem sentido!
comentou Dez 8, 2016 por Edmar Rocha Pereira (21 pontos)  
Opa Professor! Novamente era só um rascunho, estou aprendendo a usar este blog e aprendendo Latex também! rsrs

1 Resposta

0 votos
respondida Dez 8, 2016 por Edmar Rocha Pereira (21 pontos)  
editado Dez 12, 2016 por Edmar Rocha Pereira

Antes de responder os itens, é importante destacar a definição de fronteira média-variância e mostrar o Teorema da fronteira média-variância.

A definição mais relevante a respeito é que um payoff está na fronteira média-variância se não há nenhum outro payoff com o mesmo preço e mesmo valor esperado, e com menor variância, pois payoffs na fronteira média-variância minimizam variância sujeitos a restrição no preço e valor esperado.

Teorema: Um payoff está na fronteira média-variância se, e somente se, ele pertence ao subespaço \(\varepsilon \).

Demostração:

Seja\(\quad z\quad ∈\quad M .\)

Fazendo a projeção ortogonal de \(\quad z\quad em\quad\varepsilon\quad\), temos:

\(z\quad =\quad { z }^{ \varepsilon }\quad +\quad \epsilon \)

com\(\quad \quad { z }^{ \varepsilon }\quad ∈\quad \varepsilon \quad \quad e\quad \quad \epsilon \quad ∈\quad { \varepsilon }^{ ⊥ }\).

Logo, \(\quad\epsilon\quad\) é ortogonal a\( \quad{ k }_{ e }\quad e\quad { k }_{ q }\).

Portanto, \(\quad\epsilon\quad\) tem valor esperado e preço nulos.

Consequentemente, \(\quad z \quad e\quad { z }^{ \varepsilon }\quad\) tem o mesmo valor esperado e o mesmo preço.

Sabemos que \(cov(\epsilon ,{ z }^{ \varepsilon })\quad =\quad E[\epsilon { z }^{ \varepsilon }]\quad −\quad E[\epsilon ]E[{ z }^{ \varepsilon }]\quad =\quad 0\),

pois \(\quad\epsilon\quad\) é ortogonal ao subespaço \(\quad\varepsilon \quad e\quad E[\epsilon ]\quad =\quad 0\).

Logo, temos que:

\(var[z]\quad =\quad var[{ z }^{ \varepsilon }]+var[\epsilon ]\)

Portanto, \(\quad var[{ z }^{ \varepsilon }]\quad\) ≤ \(\quad var[z]\quad\) com desigualdade estrita se \(\quad\epsilon \neq 0\).

Logo, um payoff pertence a \(\quad\varepsilon\quad\) se, e somente se, ele pertence a fronteira média-variância.

Por outro lado, temos que mostrar que cada payoff em \(\varepsilon \) é um payoff da fronteira média-variância.

Suponha, pelo contrário, que exista um payoff \(\quad z\quad em\quad \varepsilon\quad\) que não seja um payoff da fronteira de média-variância.

Então, deve existir outro payoff \({ z }^{ \prime }\) com o mesmo preço e a mesma esperança, mas com menor payoff que \({ z }\).

Usando o argumento da primeira parte da prova podemos supor que \({ z }^{ \prime }\quad \in \quad \varepsilon \).

Como \(\quad z\quad\) e\(\quad { z }^{ \prime }\quad\) têm o mesmo preço e a mesma esperança, temos que:

\(E[{ k }_{ q }\quad (z\quad -\quad { z }^{ \prime })]\quad =\quad 0\quad\) e
\( E[{ k }_{ e }\quad (z\quad -\quad { z }^{ \prime })]\quad =\quad 0\).

Isto implica que \((z\quad -\quad { z }^{ \prime })\quad \in \quad { \varepsilon }^{ ⊥ }\).

Já que \( (z\quad -\quad { z }^{ \prime })\quad \in \quad \varepsilon\) , segue-se que \(z\quad =\quad { z }^{ \prime }\).

Mas isto é uma contradição à suposição de que \({ z }^{ \prime }\) tem variância menor do que \({ z }\).

\[\quad\]

\[\quad\]

Agora temos condições de responder os itens.

\[\quad\]

Pede-se:

\[\quad\]

a) Mostre que \(\quad { r }_{ q }\quad =\quad \frac { { k }_{ q } }{ { E[{ k }_{ q }^{ 2 } }] } \).

\[\quad\]

Para responder este item precisamos da seguinte definição:

O retorno associado com qualquer payoff com preço não nulo é igual ao payoff dividido pelo seu preço.

Sabemos que os retornos na fronteira são os retornos nos payoffs da fronteira ou os payoffs da fronteira com preço unitário.

Do teorema anterior, sabemos que os retornos \(\quad{ r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }\quad\) são os retornos da fronteira:

\(\quad{ r }_{ e }\quad =\quad \frac { { k }_{ e } }{ { q({ k }_{ e } }) } \quad =\quad \frac { { k }_{ e } }{ { E[{ { k }_{ q }\quad k }_{ e } }] } \quad =\quad \frac { { k }_{ e } }{ { E[{ { k }_{ q } }] } } \)
\[\]
\(\quad { r }_{ q }\quad =\quad \frac { { k }_{ q } }{ { q({ k }_{ q } }) } \quad =\quad \frac { { k }_{ q } }{ { E[{ { k }_{ q }\quad k }_{ q } }] } \quad =\quad \frac { { k }_{ q } }{ { E[{ { { k }_{ q }^{ 2 } } }] } } \).

\[\quad\]
\[\quad\]

b) Mostre como escrever \( \overline { r }\) a partir de \({ r }_{ q }\) , se ela estiver em \({ M }\).

\[\quad\]

Quando \(\quad{ k }_{ q }\quad\) e \(\quad{ k }_{ e }\quad\) são colineares, então \(\quad { r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }\quad\) são iguais e o conjunto de todos os retornos na fronteira é um ponto.

Vamos, então, supor para este item, que \(\quad{ k }_{ q }\quad\) e \(\quad{ k }_{ e }\quad\) não são colineares.

Se \(\quad{ k }_{ q }\quad\) e \(\quad{ k }_{ e }\quad\) não são colineares, então o conjunto de retornos na fronteira é uma reta que passa por \(\quad { r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }\) :

\({ r }_{ λ }\quad =\quad (1−λ){ r }_{ e }\quad +\quad λ{ r }_{ q }\quad =\quad { r }_{ e }\quad +\quad λ({ r }_{ q }−{ r }_{ e })\quad ∀λ\quad ∈\quad \Re \).

Sabemos que o valor esperado para o retorno \(\quad { r }_{ λ }\quad\) é:

\({ E[r }_{ λ }]\quad =\quad E[{ r }_{ e }]\quad +\quad λ(E[{ r }_{ q }]\quad −\quad E[{ r }_{ e }])\quad ∀λ\quad ∈\quad \Re\).

E que a variância de \(\quad{ r }_{ λ }\quad\) é:

\({ var(r }_{ λ })\quad =\quad var({ r }_{ e })\quad +2λcov({ r }_{ e } ,{ r }_{ q }\quad −\quad { r }_{ e })\quad +{ λ }^{ 2 }var({ r }_{ q }\quad −\quad { r }_{ e })\).

Se o kernel de valor esperado é o livre de risco, então \(\quad E[{ r }_{ e }]\quad =\quad \overline { r } \).

Logo, da \(\quad E[{ r }_{ { λ } }]\quad\), temos que:

\(E[{ r }_{ { λ } }]\quad =\quad \overline { r } \quad +\quad { λ }({ E[r }_{ q }]\quad −\quad \overline { r } )\)

\({ var(r }_{ λ })\quad =\quad { λ }^{ 2 }var({ r }_{ q })\quad \quad e\quad \)
\( { \sigma (r }_{ λ })\quad =\quad { |λ| }\sigma ({ r }_{ q })\)

Sempre existe um retorno com variância mínima. Se o ativo livre de risco está em \({ M }\), então o ativo livre de risco é aquele que possui variância mínima, que é nula.

Em caso contrário, podemos minimizar a \({ var(r }_{ λ })\) para encontrar \({ λ }_{ 0 }\):

\({ var(r }_{ λ })\quad =\quad var({ r }_{ e })\quad +2λcov({ r }_{ e },{ r }_{ q }\quad −\quad { r }_{ e })\quad +{ { λ } }^{ 2 }var({ r }_{ q }\quad −\quad { r }_{ e })\)

\({ λ }_{ 0 }\quad =\quad -\frac { cov({ r }_{ e },\quad { r }_{ q }\quad −\quad { r }_{ e }) }{ var({ r }_{ q }\quad −\quad { r }_{ e }) } \)

Note que se \( \overline { r }\) está em \({ M }\), temos que:

\(E[{ r }_{ { λ } }]\quad =\quad \overline { r } \quad +\quad λ(E[{ r }_{ q }]\quad -\quad \overline { r } )\)

\(\sigma ({ r }_{ { λ } })\quad =\quad { |λ| }\sigma ({ r }_{ q }))\quad \Longrightarrow \quad { λ }\quad =\quad \pm \frac { ({ \sigma (r }_{ λ }) }{ ({ \sigma (r }_{ q }) } \quad \quad \)

\(E[{ r }_{ { λ } }]\quad =\quad \overline { r } \quad \pm \frac { ({ \sigma (r }_{ λ }) }{ ({ \sigma (r }_{ q }) } (E[{ r }_{ q }]\quad -\quad \overline { r } )\quad \)

Quando \(\overline { r } \) está presente em \({ M }\) a curva toca o eixo das ordenadas, que representa a \(E[{ r }] \).

Quando \(\overline { r } \) não está presente em \({ M }\) basta escolher o \({ λ }\) e usar as equações de esperança e variância para termos a fronteira média-variância desejada.

Uma vez que o conjunto de retornos na fronteira é uma linha, quaisquer dois retornos podem ser usados no lugar de \(\quad { r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }\) para descrever essa linha.

Portanto, para qualquer retorno diferente do retorno de variância mínima \(({ r }_{ \lambda 0 })\), existe um outro retorno na fronteira tal que ele e \(({ r }_{ \lambda })\) um retorno para um valor fixo de λ tem covariância zero.

Sejam:

\(E[{ r }_{ λ }]\quad =\quad { r }_{ e }\quad +\quad λ(E[{ r }_{ q }]\quad −\quad { r }_{ e })\)

\(E[{ r }_{ \mu }]\quad =\quad { r }_{ e }\quad +\quad \mu (E[{ r }_{ q }]\quad −\quad { r }_{ e })\quad \)

Usando a fórmula de covariância para duas variáveis: \(cov(x, y) = E[xy] − E[x]E[y]\),

Temos que:

\(cov({ r }_{ λ },{ r }_{ \mu })\quad =\quad var({ r }_{ e })+(λ+μ)cov({ r }_{ e },{ r }_{ q }−{ r }_{ e })+λμvar({ r }_{ q }−{ r }_{ e })=0\)

\(\Rightarrow \quad μ\quad =\quad \frac { var({ r }_{ e })+λcov({ r }_{ e },{ r }_{ q }−{ r }_{ e }) }{ cov({ r }_{ e },{ r }_{ q }−{ r }_{ e })+λvar({ r }_{ q }−{ r }_{ e }) } \)

Observe que o denominador de \({ μ }\) somente se anula quando \( λ\quad =\quad { λ }_{ 0 }\).

Para cada valor de \(\quad λ\quad\) no intervalo [0,1] obtém-se o payoff de menor risco. Variando este parâmetro, conseguimos construir a curva da fronteira de média-variância.

\[\quad\]
\[\quad\]

c) Mostre que \({ r }_{ e }^{ * }\quad =\quad proj(e|{ M }^{ e })\).

\[\quad\]

Para resolver este e os próximos itens utilizei o livro de John Cochrane: Asset Pricing - Princeton University Press.

A resolução dos itens está relacionada com a caracterização ortogonal da fronteira média-variância.

algumas definições importantes antes de resolver o item:

Cada retorno pode ser expresso como:

\({ r }^{ i }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }^{ i }{ r }_{ e }^{ * }\quad +\quad ηi\).

A fronteira média-variância é \({ r }^{ mv }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }{ r }_{ e }^{ * }\).

\({ r }_{ e }^{ * }\) é definido como \({ r }_{ e }^{ * }\quad =\quad proj(e|{ M }^{ e })\). Representa retornos de excesso médios, \(E[({ r }_{ e }^{ * })]=E[(({ r }_{ e }^{ * })^{ 2 })]\).

definindo dois retornos especiais: \({ r }^{ * }\quad e\quad { r }_{ e }^{ * }\quad \)

\({ r }_{ }^{ * }\quad\) é o retorno correspondente ao payoff \(\quad{ x }^{ * }\) que pode atuar como o fator de desconto. O preço de \(\quad{ x }^{ * }\), é, como qualquer outro preço, \(p({ x }^{ * })=E({ x }^{ * }{ x }^{ * }).\)

Portanto, temos que \({ r }_{ }^{ * }\quad\):

\({ r }^{ * }\quad =\quad \frac { { x }^{ * } }{ p({ x }^{ * }) } \quad =\quad \frac { { x }^{ * } }{ E({ x }^{ *2 }) } \)

Já a definição de \(\quad{ x }^{ * }\):

\({ r }_{ e }^{ * }\quad =\quad proj(e|{ M }^{ e })\).

Como \(p(x)\quad =\quad E(ex)\quad =\quad E[proj(e|{ M }^{ e })x)\quad =\quad E({ x }^{ * }x)\),

Então:

\(E({ r }^{ e })\quad =\quad E(e{ r }^{ e })\quad =\quad E[proj(e|{ r }^{ e }){ r }^{ e }\quad =\quad E({ r }_{ e }^{ * }{ r }^{ e })\)

Se \(\quad { r }^{ * }\quad e\quad { r }_{ e }^{ * }\quad\) ainda são um pouco misterioso neste momento, mas eles farão mais sentido quando usamos e descobrir muitas propriedades interessantes deles.

Depois dessas definições, podemos mostrar a decomposição ortogonal:

Todo retorno \({ r }^{ i }\) pode ser expresso como:

\({ r }^{ i }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }^{ i }{ r }_{ e }^{ * }\quad +\quad { η }^{ i }\)

Onde \({ w }^{ i }\) é um número, e \({ η }^{ i }\) é um retorno em excesso com a propriedade:

\({ E[η }^{ i }]\quad =\quad 0\).

Os três componentes são ortogonais:

\(E[{ r }^{ * }{ r }_{ e }^{ * }]\quad =\quad { E[{ r }^{ * }η }^{ i }]\quad =\quad { E[{ r }_{ e }^{ * }η }^{ i }]\quad =\quad 0\)

Isto implica a caracterização da fronteira média-variância que é:

\({ r }^{ mv }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }{ r }_{ e }^{ * }\) para algum número real \({ w }\).

Ao variar o número \({ w }\), você varre a fronteira média-variância.

\(E[{ r }_{ e }^{ * }]\quad \neq \quad 0\), portanto, adicionando mais \({ w }\) altera a média e a variância de \( { r }^{ mv }\).

\[\quad\]
\[\quad\]

d) Mostre que E[\({ r }_{ e }^{ * }\)] = E[(\({ r }_{ e }^{ * })^2\)].

\[\quad\]

Conforme visto no item anterior se \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\) é a projeção ortogonal de \(e\) sobre \(M\) então,

\(E[({ r }_{ e }^{ * })]\quad =\quad E[({ r }_{ e }^{ * })^{ 2 }]\).

\[\quad\]
\[\quad\]

e) Mostre que \(\quad{ r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) são ortogonais.

\[\quad\]

Para provar que \(\quad{ r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) são ortogonais, devemos usar o Teorema da Projeção, que foi usado para provar o Teorema da fronteira média-variância e no item c.

Logo, \(\quad{ r }_{ q }\quad\) e \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) são ortogonais.

\[\quad\]
\[\quad\]

f) Mostre que se \( \overline { r }\) estiver em \(\quad{ M },\quad\) então \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) = \(\quad e−\frac { 1 }{ r } { r }_{ q }\).

\[\quad\]

Se \( \overline { r }\) estiver em \(\quad{ M },\quad\) então \(\quad { r }_{ e }^{ * }\quad\) também pode ser definido como o residual na projeção de 1 em \({ r }^{ * }\):

\({ r }_{ e }^{ * }\quad =\quad 1−proj(1|{ r }^{ * })\quad =\quad 1\quad −\quad \frac { E[{ r }^{ * }] }{ E[{ r }^{ *2 }] } { r }^{ * }\quad =\quad \quad e\quad −\quad \frac { 1 }{ r } { r }_{ q }\)

Portanto, \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) = \(\quad e−\frac { 1 }{ r } { r }_{ q }\).

\[\quad\]
\[\quad\]

g) Mostre que todo retorno \({ r }^{ i }\) pode ser escrito pela representação
\({ r }^{ i }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }^{ i }{ r }_{ e }^{ * }\quad +\quad { η }^{ i }\)
onde \(\quad { w }^{ i }\) é um número associado ao ativo \(i\) e \(ηi\) é um retorno em excesso com a propriedade \(E[ηi]\quad =\quad 0\)
Em particular, mostre que \(ηi\) é ortogonal a \( { r }_{ q }\quad\)e\(\quad{ r }_{ e }^{ * }\).

\[\quad\]

Conforme visto no item c, se os três componentes são ortogonais:

\(E[{ r }^{ * }{ r }_{ e }^{ * }]\quad =\quad { E[{ r }^{ * }η }^{ i }]\quad =\quad { E[{ r }_{ e }^{ * }η }^{ i }]\quad =\quad 0\)

Isto implica a caracterização da fronteira média-variância que é:

\({ r }^{ mv }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }{ r }_{ e }^{ * }\) para algum número real \({ w }\).

\[\quad\]
\[\quad\]

h) Mostre que todo todo retorno na fronteira média-variância pode ser escrito como \(\quad { r }^{ mv }\quad =\quad { r }_{ q }\quad +\quad { w }{ r }_{ e }^{ * }\).

\[\quad\]

Mostrado no item c.

\[\quad\]
\[\quad\]

i)O que ocorre com \( { r }_{ q }\), \(\quad{ r }_{ e }^{ * }\quad\) e a fronteira média-variância se os investidores são neutros ao risco? Analise dois casos: quando \( \overline { r }\) é
comercializada e no caso contrário.

\[\quad\]

Como consequência do que já foi visto nos itens anteriores, para o primeiro caso \({ r }_{ q }\quad \) e \(\quad \overline { r }\quad\) que são colineares, então \({ r }_{ e }^{ * }\) vai para zero.

A fronteira cai para um ponto, tal que \(\quad { r }_{ q }\quad =\quad \overline { r } \).

No espaço de média-variância, todos os retornos têm a mesma média, então, a fronteira cai para uma linha, com \(\quad { r }_{ q }\quad =\quad \overline { r }\).

Quando a projeção de \(\quad\overline { r }\quad\) em \(\quad { r }^{ e }\quad\) ainda é zero, então \({ r }_{ q }\quad\) ainda está na fronteira média de variância.

Quando os retornos são gerados a partir de um x qualquer,

\({ r }_{ e }^{ * }\quad =\quad { E[x] }^{ \prime }\quad { { E[xx }^{ \prime } }]^{ -1 }x\).

Mas se os consumidores são neutros ao risco, temos que:

\(p(x)\quad =\quad E(mx)\quad =\quad E(x)\quad\) para todos os ativos,

então \(\quad E(x)\quad =\quad 0\quad\) para retornos excedentes e \(\quad { r }_{ e }^{ * }\quad =\quad 0\).

\[\quad\]
\[\quad\]

j) Conclua o problema discutindo porque essa é uma forma especialmente interessante para representar a fronteira média variância.

\[\quad\]

Depois de tudo dito acima, fica claro como a análise pode ajudar a deixar mais interessante a representação da fronteira média variância, a qual tem a finalidade de maximizar o retorno, porém com a menor variância possível, e isto é a fronteira eficiente.

...