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Como demonstrar a desigualdade de Jensen sem o uso de gráficos?

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perguntada Jan 21, 2017 em Estatística por Iúri Honda (141 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 22, 2017 por danielcajueiro (5,326 pontos)  

Teorema (Desigualdade de Jensen - caso finito) Se \(v\) é côncava,
então \(v(\sum_{s=1}^{S} \pi_s c_s)\le \sum_{s=1}^{S}\pi_s v(c_s)\).

Sejam \(\pi_1,\pi_2\ge 0\) e \(\pi_1+\pi_2=1\), \(\forall c_1,c_2\), usando a definição de função côncava, temos

\[v (\pi_1 c_1+\pi_2 c_2 )\ge \pi_1\,v(c_1)+\pi_2\,v(c_2)\]

Para o caso finito, a prova pode ser feita por indução. Note que esse resultado
é válido para \(n=2\) e suponha que esse resultado é válido para algum \(n\).
Então,

\[v\left(\sum_{i=1}^{n+1}\pi_i c_i\right) = v\left(\pi_1 c_1+(1-\pi_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\pi_i}{1-\pi_1} c_i \right)\] \[ \ge \pi_1 v(c_1)+(1-\pi_1) v\left(\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\pi_i}{1-\pi_1} c_i \right),\]

visto que \(\left(\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\pi_i}{1-\pi_1} \right)=1\).

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