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Não consegui perceber o motivo de convergirem as séries da forma \(s_{n} = 1 + u + u^2 + u^3 + ... u^n\), nas quais u seja um número que satisfaça à condição |u| < 1.

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perguntada Mar 25, 2017 em Matemática por Sabrina Oliveira (391 pontos)  
editado Mar 25, 2017 por danielcajueiro
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1 Resposta

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respondida Mar 25, 2017 por marcelo_papini (306 pontos)  

Sejam \(u \neq 1\) e \(s_{n} = 1 + u + u^2 + u^3 + ... u^n\).
Notemos que \[(1 - u).s_{n} = s_{n} - u.s_{n} = (1 + u + u^2 + ... + u^n) -\] \[(u + u^2 + u^3 + ... + u^{n+1}) = 1 - u^{n+1}.\] Portanto, \[s_{n} = 1/(1 - u) - u^{n+1}/(1 - u),\] para todo \(u \neq 1. \)
Se |u| < 1, então \[lim_{n \to \infty} u^n = 0.\]

Também \[(lim _{n \to \infty} u^{n+1}/(1 - u) =0\] e \[lim _{n \to \infty} s^n = 1/(1-u).\]

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