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A título de ilustração, você pode dar um exemplo da resolução de uma equação diferencial (BEM SIMPLES), usando séries de potências?

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perguntada Mar 25, 2017 em Matemática por Sabrina Oliveira (391 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Mar 25, 2017 por marcelo_papini (306 pontos)  

Seja o seguinte exemplo: Resolver a equação diferencial \[x.\frac{dy}{dx} - 6y = - 4x^2,\] sujeita à condição inicial \[y(1) = 12.\] A resolução desse simples exemplo repousa em uma bela base teórica, a qual talvez não seja oportuno discutir agora. Por isso, pretendendo simplificar, direi que o procedimento seguinte se apoia em três axiomas.
Axioma A: Toda função contínua se pode exprimir mediante uma série de potências expandida em torno de um ponto do domínio da função vertente.
Axioma B: É contínua a função que resolve a equação diferencial proposta.
Axioma C: Podemos estender às séries de potências o princípio de equivalência de polinômios (às vezes denominado critério de Descartes), qual seja, dois polinômios são iguais, se o forem os coeficientes dos termos do mesmo grau.
Podemos, pois, presumir que a solução da equação proposta se possa exprimir como \[y = \Sigma_{n = 0}^{\infty}c_{n}(x- 1)^n = c_{0} + \Sigma_{n = 1}^{\infty}c_{n}(x- 1)^n .\]
Decorre da condição inicial que \(c_{0} = 12\).
Por outro lado, \[\frac{dy}{dx} = \Sigma_{n = 1}^{\infty}n.c_{n}(x- 1)^{n-1} .\]
Portanto, \[x.\frac{dy}{dx} = \left ((x - 1) + 1 \right).\frac{dy}{dx} = \] \[\Sigma_{n = 1}^{\infty}n.c_{n}(x- 1)^n + \Sigma_{n = 0}^{\infty}(n + 1).c_{n+1}(x- 1)^n = \]

\[ c_{1} + \Sigma_{n = 1}^{\infty} \left ( n.c_{n} + (n + 1).c_{n+1} \right ).(x- 1)^n. \]
Portanto, \[x.\frac{dy}{dx} - 6y = c_{1} - 6c_{0} + \Sigma_{n = 1}^{\infty} \left ( (n - 6).c_{n} + (n + 1).c_{n+1} \right ).(x- 1)^n = \]
\[ c_{1} - 72 + \Sigma_{n = 1}^{\infty} \left ( (n - 6).c_{n} + (n + 1).c_{n+1} \right ).(x- 1)^n.\]

Por outro lado, preparamos o segundo membro da equação, escrevendo \[ -4x^2 = -4 - 8(x - 1) - 4(x - 1)^2.\]
Agora, podemos empregar o critério de Descartes, igualando os coeficientes dos termos do mesmo grau.
\(c_{1} - 6c_{0} = c_{1} - 72 = -4 \Rightarrow c_{1} = 68.\)
Para n = 1: \( -5c_{1} + 2c_{2} = -8 \Rightarrow c_{2} = 166.\)
Para n = 2: \( (2 - 6)c_{2} + 3c_{3} = -4 \Rightarrow c_{3} = 220.\)
Para n = 3: \( - 3c_{3} + 4c_{4} = -4 \Rightarrow c_{4} = 165.\)
Para n = 4: \( - 2c_{4} + 5c_{5} = 0 \Rightarrow c_{5} = 66.\)
Para n = 5: \( - c_{5} + 6c_{6} = 0 \Rightarrow c_{6} = 11.\)
Para n = 6: \( 7c_{7} = 0 \Rightarrow c_{7} = 0.\)
Para n = 7: \( c_{7} + 8c_{8} = 0 \Rightarrow c_{8} = 0.\)
A nulidade desses dois coeficientes implica a nulidade de todos os coeficientes de índice maior que 8. Portanto, podemos escrever que
\[y = 12 + 68(x - 1) + 166(x-1)^2 + 220(x-1)^3 + 165(x-1)^4 +\] \[ 66(x-1)^5 + 11(x-1)^6. \]

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