álgebra-linear espaço e subespaço vetorial

Question

Considere os conjuntos \( V = \{ (x,x,y) | x,y \in \mathbb{R}\}\) e \(U = \{ (x,x,x) | x \in \mathbb{R}\}\) .
(a) Mostre que \(V\) é subespaço do \(\mathbb{R}^3\).
(b) Mostre que \(U\) é subespaço do \(V\).
(c) A união destes subespaços \(U \cup V\) é um subespaço do \(\mathbb{R}^3\) ?
(d) Determine um subespaço W do \(\mathbb{R}^3\) tal que sua união com V não seja um subespaço do \(\mathbb{R}^3\).

Answer 1

(a) Suponha que dois elementos \((a,a,b)\) e \((c,c,d)\) pertençam a \(V\), então
\(\alpha (a,a,b) +(c,c,d)= (\alpha a+c,\alpha a +c, \alpha b +d) \in V\), pois ele tem as duas primeiras coordenadas iguais.

(b) Usando os mesmos argumentos de (a), ele também é um subespaço. Note que \(U\) é um subconjunto de \(V\).

(c) Note que \(V\) é um subconjunto de \(U\). Logo, a união de \(U\) e \(V\) é igual a \(V\) que é um subespaço.

(d) Seja \(W=\{(x,0,0)| x\in \mathbb{R}\}\). Note que a união de \(V\) e \(W\) não inclui elementos do tipo \((x,y,z)\). Logo, não pode ser subespaço.