álgebra-linear espaço e subespaço vetorial

Question

Considere os conjuntos \( V = \{ (x,x,y) | x,y \in \mathbb{R}\}\) e \(U = \{ (x,x,x) | x \in \mathbb{R}\}\) .
(a) Mostre que \(V\) é subespaço do \(\mathbb{R}^3\).
(b) Mostre que \(U\) é subespaço do \(V\).
(c) A união destes subespaços \(U \cup V\) é um subespaço do \(\mathbb{R}^3\) ?
(d) Determine um subespaço W do \(\mathbb{R}^3\) tal que sua união com V não seja um subespaço do \(\mathbb{R}^3\).

Answer 1

(a) Suponha que dois elementos \((a,a,b)\) e \((c,c,d)\) pertençam a \(V\), então
\(\alpha (a,a,b) +(c,c,d)= (\alpha a+c,\alpha a +c, \alpha b +d) \in V\), pois ele tem as duas primeiras coordenadas iguais.

(b) Usando os mesmos argumentos de (a), ele também é um subespaço. Note que \(U\) é um subconjunto de \(V\).

(c) Note que \(V\) é um subconjunto de \(U\). Logo, a união de \(U\) e \(V\) é igual a \(V\) que é um subespaço.

(d) Seja \(W=\{(x,0,0)| x\in \mathbb{R}\}\). Note que a união de \(V\) e \(W\) não inclui elementos do tipo \((x,y,z)\). Logo, não pode ser subespaço. Por exemplo, o subespaço \(V\) possui o elemento (1,1,3) e o elemento \(W\) inclui o elemento (1,0,0). Note que (1,1,3) + (1,0,0) =(2,1,3). Para ser subespaço deveria se ter esse elemento na união, mas ele não está lá, pois todos os elementos ou são do tipo que possui as duas primeiras coordenadas iguais ou possui as duas últimas coordenadas nulas.

Comments

Professor, não entendi esse segmento do item D:

              Note que a união de V e W não inclui elementos do tipo (x,y,z).

Poderia esclarecê-lo pra mim?

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Eu acrescentei um exemplo extra na resposta.

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Oi professor,

Não consegui entender a resolução da c).
Eu entendi que U é subconjunto de V e não o contrário, como se diz a resolução.

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Acredito que seja mesmo o que você falou: U é subconjunto de V.

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Professor, uma dúvida.
A letra "d" trata da hipótese de a união do W com o V não ser um subespaço do R³.
Mas no caso da união do conjunto W com o V no caso daria algo do tipo WUV= {(2x,x,y)|x E R} se eu entendi direito como funciona. Mas no caso essa união ela continua pertencendo ao R³, mas não pertenceria apenas ao previsto na união UUV. O senhor poderia esclarecer?