(a) Suponha que dois elementos \((a,a,b)\) e \((c,c,d)\) pertençam a \(V\), então
\(\alpha (a,a,b) +(c,c,d)= (\alpha a+c,\alpha a +c, \alpha b +d) \in V\), pois ele tem as duas primeiras coordenadas iguais.
(b) Usando os mesmos argumentos de (a), ele também é um subespaço. Note que \(U\) é um subconjunto de \(V\).
(c) Note que \(V\) é um subconjunto de \(U\). Logo, a união de \(U\) e \(V\) é igual a \(V\) que é um subespaço.
(d) Seja \(W=\{(x,0,0)| x\in \mathbb{R}\}\). Note que a união de \(V\) e \(W\) não inclui elementos do tipo \((x,y,z)\). Logo, não pode ser subespaço. Por exemplo, o subespaço \(V\) possui o elemento (1,1,3) e o elemento \(W\) inclui o elemento (1,0,0). Note que (1,1,3) + (1,0,0) =(2,1,3). Para ser subespaço deveria se ter esse elemento na união, mas ele não está lá, pois todos os elementos ou são do tipo que possui as duas primeiras coordenadas iguais ou possui as duas últimas coordenadas nulas.