Para resolver esse problema, vamos considerar a matriz aumentada do sistema linear:
\[A=\left[\begin{array}{ccc|c}
\alpha & \beta & 2 & 1 \\
\alpha & 2\beta -1 & 3 & 1\\
\alpha & \beta & \beta+3 & 2\beta-1
\end{array}\right].\]
Eu vou tentar usar uma sequência de operações linha elementares que reduzem a necessidade de contas chatas.
\(L_2\rightarrow L_2-L_1\)
\[A=\left[\begin{array}{ccc|c}
\alpha & \beta & 2 & 1 \\
0 & \beta -1 & 1 & 0\\
\alpha & \beta & \beta+3 & 2\beta-1
\end{array}\right].\]
\(L_3\rightarrow L_3-L_1\)
\[A=\left[\begin{array}{ccc|c}
\alpha & \beta & 2 & 1 \\
0 & \beta -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2
\end{array}\right].\]
\(L_1\rightarrow L_1-\frac{\beta}{\beta-1}L_2\)
\[A=\left[\begin{array}{ccc|c}
\alpha & 0 & \frac{\beta-2}{\beta-1} & 1 \\
0 & \beta -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2
\end{array}\right].\]
\(L_1\rightarrow L_1-\frac{\beta-2}{(\beta +1)(\beta-1) }L_3\)
\[A=\left[\begin{array}{ccc|c}
\alpha & 0 & 0 & \frac{-\beta+5}{\beta+1} \\
0 & \beta -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2
\end{array}\right].\]
\(L_2\rightarrow L_2-\frac{1}{\beta +1 }L_3\)
\[A=\left[\begin{array}{ccc|c}
\alpha & 0 & 0 & \frac{-\beta+5}{\beta+1} \\
0 & \beta -1 & 0 & -\frac{2(\beta-1)}{\beta+1}\\
0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2
\end{array}\right].\]
Vamos agora considerar o que ocorre com o sistema a depender dos valores de \(\alpha\) e \(\beta\):
1) Sem solução:
a) Ocorre quando \(\beta=-1\)
b) Ocorre quando \(\alpha=0\) e \(\beta\ne 5\)
2) Solução única
a) Ocorre quando \(\alpha\ne 0\) e \(\beta\notin \{-1,1\}\)
3) Soluções múltiplas
a) Ocorre quando \(\alpha= 0\) e \(\beta=5\)
b) Ocorre quando \(\beta= 1\) e \(\alpha\ne 0\)