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Propriedades de sistemas lineares e transformações lineares associadas a uma matriz

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perguntada Mai 10, 2017 em Matemática por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Considere a matriz \(A\) definida abaixo:

\[A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right].\]

Marque a alternativa VERDADEIRA:

(a) O sistema linear \(Ax=0\) possui solução única.

(b) O determinante de \(A\) é diferente de zero.

(c) A matriz \(A\) é linha equivalente a matriz identidade.

(d) Todas as linhas de \(A\) são linearmente independentes.

(e) A imagem da transformação linear \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\), dada por \(T(x)=Ax\), é um subespaço próprio do \(\mathbb{R}^3\).

(f) O núcleo da transformação linear \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\), dada por
\(T(x)=Ax\), é o vetor nulo.

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1 Resposta

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respondida Mai 10, 2017 por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Note que a linha \(L_3\) da matriz \(A\) é uma combinação linear das outras linhas, isto é, \(L_3=2 L_2 - L_1\). Ou seja, se você escalonar a matriz \(A\), você perceberá que aparecerá uma linha nula na forma reduzida e, portanto, a matriz \(A\) não é linha equivalente a identidade.

Note que a única questão verdadeira é a letra (e), pois apenas vetores \((u,v,w)\) que satisfazem \(w=2 v -u\) estão no conjunto imagem.

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