Quais das alternativas abaixo são verdadeiras em relação a um funcional linear definido a partir de um produto interno?

Question

Seja \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow
\mathbb{R}\) uma transformação linear dada por \(T_v(x)=v\cdot x\), onde
\(v=(1,2,3)\). Pode-se afirmar que:

(i) O núcleo de \(T\) é formado pelo vetor nulo e o conjunto de todos os vetores ortogonais a \(v\).

(ii) A dimensão do núcleo de T é \(3\).

(iii) A dimensão da imagem de T é 1.

Answer 1

(i) Note que o núcleo de \(T\) é dado pelo conjunto de vetores que satisfaz \((1,2,3)\cdot (x,y,z)=0\). Logo, essa afirmativa é verdadeira.

(ii) Para pertencer ao núcleo, um vetor deve satisfazer \((1,2,3)\cdot (x,y,z)=0\), ou seja, \(x+2y+3z=0\). Faça \(y=a\) e \(z=b\), então um vetor do núcleo tem a forma \((-2a -3c,a,b)\), que pode ser escrito como \((-2a -3b,a,b)=a(-2,1,0)+ b(-3,0,1)\). Logo, o núcleo tem dimensão 2. Logo, essa afirmativa é falsa.

(iii) Essa afirmativa é trivialmente verdadeira, pois a imagem é um subespaço do conjunto de chegada que tem dimensão 1 e ela não tem dimensão nula.

Comments

Professor, as alternativas 2 e 3 estão trocadas na resposta

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Obrigado! Quando conseguir sentar na frente de um computador ajusto