(i) Note que o núcleo de \(T\) é dado pelo conjunto de vetores que satisfaz \((1,2,3)\cdot (x,y,z)=0\). Logo, essa afirmativa é verdadeira.
(ii) Para pertencer ao núcleo, um vetor deve satisfazer \((1,2,3)\cdot (x,y,z)=0\), ou seja, \(x+2y+3z=0\). Faça \(y=a\) e \(z=b\), então um vetor do núcleo tem a forma \((-2a -3c,a,b)\), que pode ser escrito como \((-2a -3b,a,b)=a(-2,1,0)+ b(-3,0,1)\). Logo, o núcleo tem dimensão 2. Logo, essa afirmativa é falsa.
(iii) Essa afirmativa é trivialmente verdadeira, pois a imagem é um subespaço do conjunto de chegada que tem dimensão 1 e ela não tem dimensão nula.