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Questão interessante de determinante que envolve o determinante de uma matriz idempotente

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perguntada Mai 10, 2017 em Matemática por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Quanto vale o determinante de \((B-BAB)\) sabendo que \(A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{array}\right]\) e \(B\) é uma matriz idempotente não-singular.

OBS: Uma matriz é idempotente se \(A^2=A\).

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1 Resposta

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respondida Mai 10, 2017 por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Esse problema segue o mesmo princípio das questões Questão 1 e Questão 2, que basicamente usamos o determinante do produto de matrizes.

Logo, \(|B-BAB|=|B^2-BAB|=|BIB-BAB|=|B(I-A)B|\) \(=|B|\times |(I-A)| \times |B|=|B|^2 \times |(I-A)|\).

Como \(B\) é uma matriz idempotente não singular, o \(|B|=1\) [Veja aqui].

Portanto, falta apenas calcular o \(|I-A|=-32\).

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