Subespaço vetorial de matrizes simétricas

Question

Seja \(V\) o espaço vetorial de matrizes de ordem \(n\) e \(W\) o subespaço vetorial de \(V\) formado apenas por matrizes simétricas.

Marque a alternativa FALSA:

(a) A dimensão de \(W\) é \(n(n+1)/2\).

(b) Se \(A,B\in W\) e \(AB=BA\) então \(AB\in W\).

(c) Se \(A,B,AB\in W\) então \(AB=BA\).

(d) Seja \(A\in V\) então \(AA^\prime\in W\).

(e) Se \(n=2\) então uma base para \(W\) é \[\left\{\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{array}\right], \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0\\ \end{array}\right],\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\right\}\]

(f) Suponha que \(A\in W\) e \(det(AA^\prime)=1\), então \(det(A)=1\).

Answer 1

Note que a resposta falsa é a letra (f), pois \(1=\det(AA^\prime)=\det(A)\det(A^\prime)=\det(A)^2\). Logo, \(det(A)=\pm 1\).

Por que as outras letras são verdadeiras?

(a) Conte o número de elementos fora da diagonal principal e divida por 2. Some com o número de elementos da diagonal principal .

(b) Deseja-se mostrar que \(AB=(AB)^\prime\). Note que por hipótese \(AB=BA=B^\prime A^\prime=(AB)^\prime\)

(c) Deseja-se mostrar que \(AB=BA\). Note que por hipótese \(AB=(AB)^\prime = B^\prime A^\prime =BA\)

(d) Preciso mostrar que \(AA^\prime\) é simétrica, ou seja, \((AA^\prime)^\prime=AA^\prime\).

(e) Uma matriz simétrica de ordem 2 pode ser escrita de forma genérica por
\[\left[\begin{array}{cc} a & c \\ c & b\\ \end{array}\right]\] que obviamente é uma combinação linear dos vetores dados.