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Vetores no \(\mathbb{R}^n\)

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perguntada Out 8, 2017 em Matemática por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Marque as alternativas verdadeiras:

(i) Se \(\{v_1,\cdots,v_n\}\) é uma base para o \(\mathbb{R}^n\), então
\(\{v_1-v_2,v_2-v_3,\cdots,v_{n-1}-v_{n},v_n\}\) também é.

(ii) Sejam \(U\) e \(V\) subconjuntos do \(\mathbb{R}^n\) linearmente independentes. Se nenhum
elemento de \(U\) pode ser escrito como combinação linear de \(V\) e vice-versa, então o conjunto
\(U\cup V\) é linearmente independente.

(iii) Se \(u\) é tal que \(u\cdot v=0\) para todo \(v\in \mathbb{R}^n\) então \(u=0\).

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1 Resposta

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respondida Out 8, 2017 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

(i) [V] Para os vetores serem LIs, os coeficientes da equação vetorial abaixo são todos nulos:

\(c_1 (v_1-v_2) + \cdots + c_n v_n=0\)

Note que essa equação pode ser reescrita como

\(c_1 v_1 + (c_2-c_1)v_2 \cdots + (c_n-c_{n-1}) v_n=0\)

Como por hipótese os vetores \(v_1, \cdots, v_n\) são LIs, então

\(c_1=0\)
\(c_2-c_1=0\)
\(\vdots\)
\(c_n-c_{n-1}=0\)
Logo, a afirmativa é verdadeira.

(ii) [F] Note que é trivial construir um contra exemplo no \(\mathbb{R}^3\) visto que 4 vetores no \(\mathbb{R}^3\) são sempre LD.

\(U=\{(1,0,0),(1,1,0)\}\) e \(V=\{(0,0,1),(0,1,1)\}\).

(iii) [V] Se \(u\cdot v=0\) para todo \(v\in \mathbb{R}^n\). Faça \(v=u\) ou um múltiplo de \(u\) para chegar \( u\cdot u = ||u||^2 =0 \Rightarrow u=0\).

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