Operadores lineares dados por matrizes de permutação

Question

Marque as alternativas verdadeiras:

Seja \(T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) dada por \(T(x)=Ax\), onde \(A\) é uma matriz de permutação, isto é, uma matriz formada a partir de permutações das linhas da matriz identidade.

(i) A dimensão da imagem de \(T\) é \(n-1\).

(ii) \(T(T(x))=x\)

(iii) \(||T(x)||=||x||\).

Answer 1

(i) [F] Note que \(A\) sempre possui inversa. Logo, dado \(y\in \mathbb{R}^n\), existe \(x\in \mathbb{R}^n\) tal que \(x=A^{-1} y\).

(ii) [F] Seja \(y\) a permutação de \(x\). Não necessariamente a permutação \(y\) é igual a \(x\).

(iii) [V] Note que esse operador linear só altera a ordem dos elementos. Logo, a norma é a mesma.

Vale a pena você dar uma olhada em uma questão similar.

Comments

Professor, a (i) não seria verdadeira?
Como A é linha  equivalente a matriz identidade por uma permutação de linhas, det(A)=±1
Que é equivalente a dizer que o sistema homogêneo Ax=0 possui apenas a solução trivial,  portanto o único vetor x que zera T(x)=Ax é o vetor nulo, logo a dimensão do núcleo de T é 1, e pelo teorema do núcleo e da imagem
1+dim(Im(T))=dim(Rn)
1+dim(Im(T))=n
dim(Im(T))=n-1

Não sei se deixei de considerar algum detalhe, então se eu estiver errado por favor me corrija, mas se porventura eu estiver correto, se possível aceitaria com muita gratidão meio pontinho :D

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Quase tudo certo, mas a dimensao do nucleo nesse caso eh zero, pois so tem o vetor nulo... Para ter dimensão 1 precisa-se ter pelo menos um vetor diferente do vetor nulo, i. e., a base precisa ter pelo menos um vetor diferente do vetor nulo.