Operadores lineares dados por matrizes de permutação

Question

Marque as alternativas verdadeiras:

Seja \(T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) dada por \(T(x)=Ax\), onde \(A\) é uma matriz de permutação, isto é, uma matriz formada a partir de permutações das linhas da matriz identidade.

(i) A dimensão da imagem de \(T\) é \(n-1\).

(ii) \(T(T(x))=x\)

(iii) \(||T(x)||=||x||\).

Answer 1

(i) [F] Note que \(A\) sempre possui inversa. Logo, dado \(y\in \mathbb{R}^n\), existe \(x\in \mathbb{R}^n\) tal que \(x=A^{-1} y\).

(ii) [F] Seja \(y\) a permutação de \(x\). Não necessariamente a permutação \(y\) é igual a \(x\).

(iii) [V] Note que esse operador linear só altera a ordem dos elementos. Logo, a norma é a mesma.

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