Matrizes involutórias

Question

Marque as alternativas verdadeiras:

Uma matriz \(A\) é dita ser involutória se \(A^2=I\).

(i) Seja \(A\) uma matriz involutória, então todos os autovalores de \(A\) são iguais a 1.

(ii) Se \(P=P^2\) (isto é \(P\) é idempotente), então \(A=2P-I\) é involutória.

(iii) Se \(A\) é involutória, então \(A^{1001}=I\).

Answer 1

(i) [F] \(Av=\lambda v\) Logo, multiplicando por \(A\) a esquerda temos \(Iv=A^2 v=\lambda Av=\lambda^2 v\). Portanto, (1-\lambda^2)Iv=0\), ou seja, \(\lambda=\pm 1\).

(ii) [V] Note que \((2P-I)\times (2P-I)=4P^2-4PI +I=4P-4P+I =I\).

(iii) [F] Note que \(A^2=I\), \(A^3=A\), \(\cdots\), \(A^{1001}=A\).