Antes de responder os ítens, seguem as notações e hipóteses a serem utilizadas ao longo da resolução:
1) sendo desconsiderado o consumo no primeiro período, cada função utilidade terá como parâmetros os consumos dos agentes (i=1,2) em cada estado da natureza.
2) "h" é a carteira de cada agente i, "c" o seu respectivo consumo no segundo período, por estado da natureza, e w o vetor de dotações dos respectivos indivíduos. Nesse caso, como enunciado, \(w^1\) = \(w^2\) = (1,1)'
Abaixo define-se o problema de otimização:
\(max_{c_{1}^i,c_{2}^{i}h_{1}^i,h_{2}^{i}} \) \(U^{i}(c_{1}^{i},c_{2}^{i})\)
s.a.
\(p_{1}h_{1}^{i} + p_{2}h_{2}^{i} \le 0 \)
\(c_{1}^{i} \le w_{1}^{i} + h_{1}^{i}\)
\(c_{2}^{i} \le w_{2}^{i} + h_{2}^{i}\)
\(c_{1}^{i} \ge 0\)
\(c_{2}^{i} \ge 0\)
O Lagrangeano do problema é definido abaixo, para cada indivíduo i:
\( L(c_{1}^{i},L(c_{2}^{i},h_{1}^{i},h_{2}^{i},\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4},\lambda_{5}) = U^{i}(c_{1}^{i},c_{2}^{i}) - \lambda_{1}(p_{1}h_{1}^{i} + p_{2}h_{2}^{i}) \)
\(- \lambda_{2}(c_{1}^{i} -w_{1}^{i} - h_{1}^{i}) -\lambda_{3}(c_{2}^{i} -w_{2}^{i} - h_{2}^{i}) +\lambda_{4}(c_{1}^{i}) + \lambda_{5}(c_{2}^{i})\)
Como \(d(logc)/dc = 1/c \), tem-se que o valor do consumo ótimo não poderá ser zero. Isso faz com que \(\lambda_{4}=\lambda_{5}=0\).
Além disso, como as funções utilidade do problema são estritamente crescentes, as restrições de desigualdade serão satisfeitas com igualdade.
Resolução do item a:
Feitas as considerações acima, introduz-se as condições de primeira ordem (CPO) para a resolução do problema, por indivíduo, tendo em vista que as funções de utilidade são distintas.:
CPO do indivíduo 1, por variável:
\(c_{1}^{1} \Longrightarrow \frac {2}{c_{1}^{1}} - \lambda_{2} = 0 \)
\(c_{2}^{1} \Longrightarrow \frac {1}{c_{2}^{1}} - \lambda_{3} = 0 \)
\(h_{1}^{1} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{1}+ \lambda_{2}= 0 \)
\(h_{1}^{1} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{2}+ \lambda_{3}= 0 \)
Substituindo as equações acima, chega-se nas seguintes relações:
\( \lambda_{1}p_{1}=\frac {2}{c_{1}^{1}} \)
\( \lambda_{1}p_{2}=\frac {1}{c_{2}^{1}} \)
A divisão das duas equações acima traz:
\( \frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{2c_{2}^{1}}{c_{1}^{1}} \)
Também, de ph=0, extrai-se a seguinte relação:
\( p_{1}h_{1}^{1} + p_{2}h_{2}^{1} = 0 \)
\( h_{2}^{1} = -\frac{p_{1}}{p_{2}}h_{1}^{1} \)
Para encontrar os valores de consumo e carteira ótimos, substituir-se-á as relações acima encontradas nas restrições de consumo, conforme abaixo:
\( c_{1}^{1} = 1 + h_{1}^{1} \)
\( c_{2}^{1} = 1 + h_{2}^{1} \), pois as dotações \( w^{1} \) são (1,1)'
Levando-se em conta que \( c_{2}^{1} = \frac{p_{1}}{2p_{2}}c_{1}^{1}\), e fazendo as devidas substituições nas equações acima, chega-se a:
\( 1+h_{1}^{1} = (1+h_{2}^{1}) \frac{2p_{2}}{p_{1}} \) Da relação entre \(h_{2}\) e \(h_{1}\):
\( 1+h_{1}^{1} = (1 - \frac{p_{1}}{p_{2}}h_{1}^{1}) \frac{2p_{2}}{p_{1}} \)
Rearranjando os termos e utilizando as equações de consumo chega-se às equações que definirão os valores ótimos para \(h_{1}^{1}\) , \(h_{2}^{1}\), \(c_{1}^{1}\) e , \(c_{2}^{1}\):
\( h_1^{1} = \frac{2p_{2}}{3p_{1}} - \frac{1}{3} \),
\( h_2^{1} = \frac{p_{1}}{3p_{2}} - \frac{2}{3} \) ,
\( c_1^{1} = \frac{2p_{2}}{3p_{1}} + \frac{2}{3} \),
\( c_2^{1} = \frac{p_{1}}{3p_{2}} + \frac{1}{3} \)
CPO do indivíduo 2, por variável:
\(c_{1}^{2} \Longrightarrow \frac {1}{c_{1}^{2}} - \lambda_{2} = 0 \)
\(c_{2}^{2} \Longrightarrow \frac {2}{c_{2}^{2}} - \lambda_{3} = 0 \)
\(h_{1}^{2} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{1}+ \lambda_{2}= 0 \)
\(h_{1}^{2} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{2}+ \lambda_{3}= 0 \)
Fazendo as substituições, chega-se a:
\( \frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{c_{2}^{2}}{2c_{1}^{2}} \), donde \(c_{2}^{2} = 2c_{1}^{2}\frac{p_{1}}{p_{2}} \)
Novamente, com base na relação acima, em ph=0 e na restrição de consumo chega-se às equações ótimas de \(h_{1}^{2}\) , \(h_{2}^{2}\), \(c_{1}^{2}\) e , \(c_{2}^{2}\) :
\( h_1^{2} = \frac{p_{2}}{3p_{1}} - \frac{2}{3} \),
\( h_2^{2} = \frac{2p_{1}}{3p_{2}} - \frac{1}{3} \) ,
\( c_1^{2} = \frac{p_{2}}{3p_{1}} + \frac{1}{3} \),
\( c_2^{2} = \frac{2p_{1}}{3p_{2}} + \frac{2}{3} \)
Preços de equilíbrio:
A relação entre os preços de equilíbrio levarão aos valores dos consumos e das carteiras que maximizarão a função objetivo. Essa condição é garantida pelo fato de que \( \frac{∂^{2}U}{∂c^{2}} < 0 \), \( \forall\) i \(\forall\) c
Os preços relativos serão revelados pela condição de market clearing. Formalmente:
\(h^{1} + h^{2} = 0 \)
Para tal, basta validar essa condição para um estado da natureza, pela regra do equilíbrio geral Walrasiano. Substituindo as equações das carteiras no equilíbrio de market clearing tem-se:
\( \frac{2p_{2}}{3p_{1}} - \frac{1}{3} + \frac{p_{2}}{3p_{1}} - \frac{2}{3} = 0 \)
É fácil verificar que \(p_{1}^{*} = p_{2}^{*}\)
Sabendo que \(p_{1}^{*} = p_{2}^{*}\), chega-se aos valores das carteiras (vetores \(h^{i} \)) e dos consumos (vetores \(c^{i}\))
Resultados:
\( h^{1} = (\frac{1}{3};-\frac{1}{3}) \)
\(c^{1}= (\frac{4}{3};\frac{2}{3}) \)
\( h^{2} = (-\frac{1}{3};\frac{1}{3}) \)
\(c^{2}= (\frac{2}{3};\frac{4}{3}) \)
Item b: Quais os motivos que justificam a comercialização de ativos entre os agentes do mercado?
As trocas ocorrem porque, apesar de os indivíduos possuírem as mesmas dotações para dos dois estados da natureza, suas funções de utilidade revelam uma preferência relativa maior para o consumo no primeiro estado da natureza, para o indivíduo 1, e para o consumo no segundo estado da natureza, para o indivíduo 2. Dessa forma, a troca é mutualmente vantajosa.