Primeiramente, será descrito o método de apreçamento de opções europeias por meio do Modelo Binomial. As notações serão as mesmas utilizadas na aula do curso de Finanças, conforme segue:
S = cotação inicial (ou na data zero) da ação ou ativo subjacente
S\(_t\) = cotação da ação ou ativo subjacente na data t
C = preço ou "valor justo" do contrato de opção
C\(_t\) = preço ou "valor justo" do contrato de opção na data t, segundo critério de decisão
X = preço de exercício (strike)
u = fator de apreciação da ação ou ativo subjacente (u >1)
d = fator de depreciação da ação ou ativo subjacente (d<1)
ud=1
r = taxa de juros livre de risco
Logo, Sd será o valor da ação ou ativo subjacente na data 1, caso esse estado da natureza ocorra.
A ele, em cada período é atribuída uma probabilidade q (probabilidade de subida no preço da ação), de sorte que 1-q é a probabilidade associada à queda do preço da ação.
Para os fins do exemplo pedido no exercício, considere dois períodos para a precificação da opção, e considere se tratar de uma opção de compra (call)
Dessa forma, a opção será exercida sempre que, no período final, \(C_t= max (S_t - X, 0) >0 \)
Também, o método para apreçamento de opções europeias por meio da árvore binomial se dá de trás para frente.

Tendo por base a figura acima, calcula-se \(C_u^2\), \(C_{ud}\) e \(C_d^2\) (payoff das opções no instante final), em função do preço do ativo S, de u e d, da taxa livre de risco r e do preço de exercício (strike) X.
São dados r, u, d=1/u, S e X.
A probabilidade q é função de r, d e u, conforme a seguir:
\(q = \frac{(1+r)-d}{u-d} \)
Os valores das opções em cada período, considerando os dois estados da natureza possíveis (u,d) são definidos conforme a seguir:
\(C = \frac{qC_u + (1-q)C_d}{1+r} \)
a) Exemplo: opção europeia
Conforme definições acima, parte-se para o apreçamento de opção europeia, com os seguintes dados:
S=20
X = 21
r=5%
u=1,1
d=\(\frac{1}{u}\)= 0,909
q = 0,738 (conforme fórmula acima)
1-q = 0,262
Assim, tendo por base os valores de \(C_t\), conforme critério de exercício da opção na data final, chega-se aos valores de (\(C_{t-1}\) ,..., \(C_{1}\)), até C.
Do exercício (ver figura abaixo):
\(C_u^2 = 3,2 \)
\(C_{ud} = C_{du} = C_d^2 = 0\)
\(C_u = \frac{qC_u^2 + (1-q)C_{ud}}{1+r} \)
\(C_d = \frac{qC_{ud} + (1-q)C_d^2}{1+r} \)
\(C_u = 2,249433 \)
\(C_d = 0\)
Repetindo o procedimento acima, chega-se ao valor de C:
\(C = 1,581234\)

b) Exemplo: opção asiática
O que distingue a opção asiática da europeia é que o payoff da primeira não é determinado pela cotação da ação ou ativo subjacente na maturidade, e sim pelas médias das suas cotações durante um determinado período de tempo.
Dessa forma, define-se \(\overline{S}_t\) como a média das cotações no período t em questão. Para cada nó do problema, será levada a média descrita para a tomada de decisão. Logo, em relação ao modelo binomial (ver fórmula abaixo), o valor da opção poderá diferir em função da mudança no parâmetro S para média total dos períodos - \(\overline{S}\) - bem como pela alteração do parâmetro \(\overline{n}\), o número de vezes que a opção de compra zera nos períodos finais.

Onde:
T = total de períodos
n = número de movimentos ascendentes
\(\overline{n}\) = número de vezes que a opção de compra zera nos períodos finais
Assim, repetindo-se os dados exercício acima para uma opção asiática (ver diagrama de árvore abaixo), tem-se que:
\(C_u = 1,47619\)
\(C_d = 0\)
\(C = 1,037685 \)
Note que nesse exemplo simples o preço da opção sofreu queda, tendo em vista que \(C_x\) somente foi afetado no resultado em que a ação sobe duas vezes (no único em que a opção é exercida). Como a utilização da média reduz a volatilidade, o resultado mostra-se intuitivo.
Todavia, é fácil ver (pela mudança de \(\overline{n}\)) que se algum \(C_x\) inicialmente zerado ficasse positivo, isso também afetaria o preço da opção por conta da utilização da média aritmética no critério de decisão.
