Como apreçar opções asiáticas usando o modelo binomial?

Question

Considere o problema de utilizar modelo binomial para o apreçamento de opções asiáticas. Apresente uma figura com a árvore binomial, explicite as modicacões que devem ser consideradas no modelo e finalize com um exemplo que explicite as diferenças entre apreçar um contrato de opcão Europeia e um contrato de opção Asiática.

Answer 1

Primeiramente, será descrito o método de apreçamento de opções europeias por meio do Modelo Binomial. As notações serão as mesmas utilizadas na aula do curso de Finanças, conforme segue:

S = cotação inicial (ou na data zero) da ação ou ativo subjacente
S\(_t\) = cotação da ação ou ativo subjacente na data t
C = preço ou "valor justo" do contrato de opção
C\(_t\) = preço ou "valor justo" do contrato de opção na data t, segundo critério de decisão
X = preço de exercício (strike)
u = fator de apreciação da ação ou ativo subjacente (u >1)
d = fator de depreciação da ação ou ativo subjacente (d<1)
ud=1
r = taxa de juros livre de risco

Logo, Sd será o valor da ação ou ativo subjacente na data 1, caso esse estado da natureza ocorra.

A ele, em cada período é atribuída uma probabilidade q (probabilidade de subida no preço da ação), de sorte que 1-q é a probabilidade associada à queda do preço da ação.

Para os fins do exemplo pedido no exercício, considere dois períodos para a precificação da opção, e considere se tratar de uma opção de compra (call)

Dessa forma, a opção será exercida sempre que, no período final, \(C_t= max (S_t - X, 0) >0 \)

Também, o método para apreçamento de opções europeias por meio da árvore binomial se dá de trás para frente.

Tendo por base a figura acima, calcula-se \(C_u^2\), \(C_{ud}\) e \(C_d^2\) (payoff das opções no instante final), em função do preço do ativo S, de u e d, da taxa livre de risco r e do preço de exercício (strike) X.

São dados r, u, d=1/u, S e X.
A probabilidade q é função de r, d e u, conforme a seguir:
\(q = \frac{(1+r)-d}{u-d} \)

Os valores das opções em cada período, considerando os dois estados da natureza possíveis (u,d) são definidos conforme a seguir:

\(C = \frac{qC_u + (1-q)C_d}{1+r} \)

a) Exemplo: opção europeia

Conforme definições acima, parte-se para o apreçamento de opção europeia, com os seguintes dados:

S=20
X = 21
r=5%
u=1,1
d=\(\frac{1}{u}\)= 0,909
q = 0,738 (conforme fórmula acima)
1-q = 0,262

Assim, tendo por base os valores de \(C_t\), conforme critério de exercício da opção na data final, chega-se aos valores de (\(C_{t-1}\) ,..., \(C_{1}\)), até C.

Do exercício (ver figura abaixo):
\(C_u^2 = 3,2 \)
\(C_{ud} = C_{du} = C_d^2 = 0\)

\(C_u = \frac{qC_u^2 + (1-q)C_{ud}}{1+r} \)
\(C_d = \frac{qC_{ud} + (1-q)C_d^2}{1+r} \)

\(C_u = 2,249433 \)
\(C_d = 0\)

Repetindo o procedimento acima, chega-se ao valor de C:

\(C = 1,581234\)

b) Exemplo: opção asiática
O que distingue a opção asiática da europeia é que o payoff da primeira não é determinado pela cotação da ação ou ativo subjacente na maturidade, e sim pelas médias das suas cotações durante um determinado período de tempo.
Dessa forma, define-se \(\overline{S}_t\) como a média das cotações no período t em questão. Para cada nó do problema, será levada a média descrita para a tomada de decisão. Logo, em relação ao modelo binomial (ver fórmula abaixo), o valor da opção poderá diferir em função da mudança no parâmetro S para média total dos períodos - \(\overline{S}\) - bem como pela alteração do parâmetro \(\overline{n}\), o número de vezes que a opção de compra zera nos períodos finais.

Onde:
T = total de períodos
n = número de movimentos ascendentes
\(\overline{n}\) = número de vezes que a opção de compra zera nos períodos finais

Assim, repetindo-se os dados exercício acima para uma opção asiática (ver diagrama de árvore abaixo), tem-se que:

\(C_u = 1,47619\)
\(C_d = 0\)

\(C = 1,037685 \)

Note que nesse exemplo simples o preço da opção sofreu queda, tendo em vista que \(C_x\) somente foi afetado no resultado em que a ação sobe duas vezes (no único em que a opção é exercida). Como a utilização da média reduz a volatilidade, o resultado mostra-se intuitivo.

Todavia, é fácil ver (pela mudança de \(\overline{n}\)) que se algum \(C_x\) inicialmente zerado ficasse positivo, isso também afetaria o preço da opção por conta da utilização da média aritmética no critério de decisão.

Comments

A resposta está muito boa, clara e didática. Gostaria apenas de fazer algumas considerações sobre o parâmetro u e sobre hipóteses subjacentes que, se flexibilizadas, tornam o arcabouço do modelo binomial mais abrangente.

Em primeiro lugar, gostaria de observar que Hull (1), ao apresentar o modelo binomial para o apreçamento de opções, calcula o parâmetro u (movimento de alta)  em função da volatilidade da ação. Mais especificamente, ele obtém u como exp(sigma*raiz(t)), em que sigma é a volatilidade da ação expressa, em geral, em percentual ao ano. Considerando uma árvore com cinco períodos à frente, onde cada período representa um mês, considerando ainda a volatilidade ao ano, a variável t seria dada por 1/12. Dessa forma, o parâmetro u resulta da volatilidade mensal da ação (me refiro aos retornos da ação). A hipótese de retornos  independentes e identicamente distribuídos (iid) é utilizada para ajustar a volatilidade a diferentes janelas de tempo, multiplicando por raiz(t).

Note que a hipótese de retornos iid está presente em cada nível da árvore ("ups" e "downs" são os mesmos independentemente de quantos tenham ocorrido no passado). Além disso, a simetria é mantida ao longo de toda a árvore com ud=1. Note também que a probabilidade apresentada é função de u, d e r, ou seja, de parâmetros de volatilidade e de média (r, no caso).

(1) Hull, J. Risk Management and Financial Institutions.

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João, excelente.

Meu comentário é apenas para deixar claro o que é uma opção do tipo Asiática.

Uma opção asiática é um tipo de derivativo exótico, onde o payoff depende da média aritmética do preço de um ativo ao longo do tempo de vida da opção.

O payoff médio de uma opção CALL deste tipo segue a seguinte formulação:

\(max(0,S_{ave}-K)\)

Enquanto a put segue:
\(max(0,K-S_{ave})\)

\(S_{ave}\)é a média aritmética do preço do ativo. Esse tipo de ativo é mais barato, em média, que os derivativos mais convencionais (como as opções europeias) e são mais apropriadas para alguns tipos de operações financeiras. Na página 610, do Hull (Options, Futures, and Other Derivatives), ele cita um exemplo interessante:

Suponha que a tesouraria de uma empresa americana, que tenha um subsidiária australiana ,espere receber, no próximo ano, uma geração de caixa de 100 milhões de dólares australianos da subsidiária. A tesouraria está mais interessante em uma opção que garanta a taxa de câmbio em um certo nível, por um período longo de tempo, como por exemplo 1 ano, e não refletindo o preço do ativo de forma instantânea igual uma opção europeia convencional.